1、2.复数、平面向量一、单项选择题1.(2022广东梅州二模)复数z满足(1-3i)z=|2i|,i为虚数单位,则复数z的虚部为()A.-33B.33C.-32D.322.(2022全国乙理2)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则()A.a=1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=2D.a=-1,b=-23.(2022河北石家庄一模)若复数z=(1+2i)(a-i)在复平面内对应的点位于第四象限,则实数a的取值范围是()A.-12,2B.-2,12C.12,2D.(-,-2)12,+4.(2022新高考4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,
2、则实数t=()A.-6B.-5C.5D.65.(2022山东枣庄一模)设z1,z2是方程x2+x+1=0在复数范围内的两个不同解,则()A.|z1-z2|=2B.|z1|=2C.z1+z2=1D.z1z2=16.(2022新高考3)在ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=()A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n7.(2022福建漳州二模)复数z满足|z-(5+5i)|=2,则z在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.(2022北京10)在ABC中,AC=3,BC=4,C=90.P为ABC所在平面
3、内的动点,且PC=1,则PAPB的取值范围是()A.-5,3B.-3,5C.-6,4D.-4,6二、多项选择题9.(2022广东广州三模)已知向量a=(3,-1),b=(1,-2),则下列结论中正确的是()A.ab=5B.|a-b|=5C.=4D.ab10.(2022山东滨州二模)欧拉公式eix=cos x+isin x(e为自然对数的底数,i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式建立了三角函数与指数函数的关系,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列结论中正确的是()A.复数ei2为纯虚数B.复数ei2在复平面内对应的点位于第二象限C.复数ei3的
4、共轭复数为32-12iD.复数ei(R)在复平面内对应的点的轨迹是圆11.已知正八边形ABCDEFGH,其中OA=2,则()A.2OB+OE+OG=0B.OAOD=-22C.|AH+EH|=4D.|AH+GH|=4+2212.(2022广东三模)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,已知圆O的半径为2,P是圆O内的定点,且OP=2,弦AC,BD均过点P,则下列说法中正确的是()A.(OD+OB)DB=0B.PAPC为定值C.OAOC的取值范围是-2,0D.当ACBD时,ABCD为定值三、填空题
5、13.写出一个同时满足下列条件的复数z=.|z|=5复数z在复平面内对应的点在第四象限14.(2022全国甲理13)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)b=.15.(2022山东济宁三模)在边长为4的等边三角形ABC中,已知AD=23AB,点P在线段CD上,且AP=mAC+12AB,则|AP|=.16.(2022天津滨海模拟)在北京冬奥会开幕式上,贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴,象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界(如图1),顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF(如图2
6、).已知正六边形的边长为1,点M满足AM=12(AB+AF),则|AM|=;若P是线段EC上的动点(包括端点),则APDP的最小值是.图1图22.复数、平面向量1.D解析 因为(1-3i)z=|2i|,所以(1-3i)z=2,所以z=21-3i=2(1+3i)(1-3i)(1+3i)=12+32i,所以复数z的虚部为32.2.A解析 z=1-2i,z=1+2i,z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i=0,a+b+1=0,2a-2=0,解得a=1,b=-2.故选A.3.B解析 由题得z=(1+2i)(a-i)=a+2+(2a-1)i在复平面内对应的点(a+2,2a
7、-1)在第四象限,所以a+20,2a-10,解得-2a12.4.C解析 由题意得c=(3+t,4),cos=cos,故9+3t+16|c|5=3+t|c|1,解得t=5.故选C.5.D解析 由方程x2+x+1=0,得=1-4=-30,由求根公式得-13i22=-13i2,不妨设z1=-12+32i,z2=-12-32i.|z1-z2|=|3i|=3,故A错误;|z1|=-12+32i=-122+322=1,故B错误;z1+z2=-1,故C错误;z1z2=-12+32i-12-32i=-122-32i2=1,故D正确.6. B解析 如图.BD=2DA,AB=3AD,CB=CA+AB=CA+3AD
8、=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD.又CA=m,CD=n,所以CB=-2m+3n.故选B.7.A解析 设复数z=x+yi(x,yR),因为|z-(5+5i)|=2,所以(x-5)2+(y-5)2=4,即复数z在复平面内对应的点在以(5,5)为圆心,以2为半径的圆上,所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.8. D解析 如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4).PC=1,可设P(cos ,sin ),0360,PAPB=(3-cos ,-sin )(-cos ,4-sin )=-3cos -4sin +si
9、n2+cos2=1-5sin(+),其中tan =34,-1sin(+)1,-4PAPB6.故选D.9.ABC解析 ab=31+(-1)(-2)=5,故A正确;a-b=(2,1),|a-b|=22+12=5,故B正确;|a|=32+(-1)2=10,|b|=12+(-2)2=5,则cos=ab|a|b|=552=22,=4,故C正确;3(-2)(-1)1,故D错误.10.ABD解析 复数ei2=cos2+isin2=i为纯虚数,故A正确;复数ei2=cos 2+isin 2,因为cos 20,所以复数ei2在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)位于第二象限,故B正确;复数ei3=cos3
10、+isin3=12+32i的共轭复数为12-32i,故C错误;复数ei=cos +isin (R)在复平面内对应的点为(cos ,sin ),因为cos2+sin2=1,所以复数ei(R)在复平面内对应的点的轨迹是圆,故D正确.11. ABC解析 由题意,分别以HD,BF所在的直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,易知AOH=HOG=AOB=EOF=FOG=DOE=COB=COD=3608=45,作AMHD,则OM=AM.因为OA=2,所以OM=AM=2,所以A(-2,-2).同理可得其余各点坐标,B(0,-2),E(2,2),G(-2,2),D(2,0),H(-2,0).2OB+O
11、E+OG=(0+2-2,-22+2+2)=0,故A正确;OAOD=(-2)2+(-2)0=-22,故B正确;AH=(-2+2,2),EH=(-2-2,-2),AH+EH=(-4,0),所以|AH+EH|=(-4)2+02=4,故C正确;AH=(-2+2,2),GH=(-2+2,-2),AH+GH=(-4+22,0),|AH+GH|=(-4+22)2+02=4-22,故D不正确.12.ABD解析 连接OA,OB,OC,OD,OP,设弦DB的中点为S,连接OS,则OSBD.故(OD+OB)DB=2OSBD=0,故A正确;设直线PO与圆O交于点E,F,则PAPC=-|PA|PC|=-EPPF=-(O
12、E-PO)(OE+PO)=PO2-EO2=-2,故B正确;取AC的中点M,连接OM,则OAOC=(OM+MA)(OM+MC)=OM2-MC2=OM2-(4-OM2)=2OM2-4,而0OM2OP2=2,故OAOC的取值范围是-4,0,故C错误;当ACBD时,ABCD=(AP+PB)(CP+PD)=APCP+PBPD=-|AP|CP|-|PB|PD|=-2EPPF=-4,故D正确.13.3-4i(答案不唯一)解析 不妨令z=3-4i,则|z|=32+(-4)2=5,复数z在复平面内对应的点(3,-4)位于第四象限,满足,故z=3-4i符合题意.14.11解析 由题得,ab=13cos=1313=
13、1,则(2a+b)b=2ab+|b|2=2+9=11.15.7解析 因为AD=23AB,所以AB=32AD.所以AP=mAC+12AB=mAC+34AD.因为点P在线段CD上,所以P,C,D三点共线,m+34=1,即m=14.所以AP=14AC+12AB.又ABC是边长为4的等边三角形,所以|AP|2=14AC+12AB2=116|AC|2+14|AC|AB|cos 60+14|AB|2=11616+144412+1416=7,故|AP|=7.16.12-34解析 由题可知|AB|=|AF|=1,=23,则AM2=14(AB+AF)2=14(AB2+2ABAF+AF2)=141-212+1=14,故|AM|=12.设EP=EC=(ED+DC)(01),AP=AF+FE+EP,DP=EP-ED,则APDP=(AF+FE+EP)(EP-ED)=(AF+FE+ED+DC)(-1)ED+DC=(-1)AFED+(-1)FEED+(-1)ED2+(-1)DCED+AFDC+FEDC+2EDDC+2DC2=-12(-1)+12(-1)+(-1)+12(-1)-12+122+2=3(2-)=3-122-34,
