1、直线的一般式方程1.直线mx-y+2m+1=0 恒过一定点，则此定点为( )A.(-2,1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,1)答案：A2.（2021四川内江资中二中高二月考）已知直线l ：ax-y+2-a=0 的横截距与纵截距相等，则a 的值为( )A.1B.-1C.-1或2D.2答案：C3.（2021山东济南回民中学高二期中）斜率为-3，且在x 轴上的截距为2的直线的一般式方程是( )A.3x+y+6=0 B.3x-y+2=0C.3x+y-6=0 D.3x-y-2=0答案：C4.（多选题）（2021山东临沂高二期中）下列说法正确的是( )A.直线y=ax-2a+1 必过定点(2,1)
2、B.直线3x-2y+4=0 在y 轴上的截距为-2C.直线3x+y+1=0 的倾斜角为120D.若将直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后回到原来的位置，则直线l 的斜率为23答案：A ; C ; D5.（2021贵州遵义航天中学高二月考）过点P(1,3) ，且垂直于直线x-2y+3=0 的直线的方程为( )A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x+2y+7=0答案：B6.（2021北京育英学校高二期末）已知直线x+2y+3=0 与直线2x+my+1=0 平行，则m= ( )A.1B.2C.3D.4答案：D解析：因为直线x+2y+3=0
3、 与直线2x+my+1=0 平行，所以21=m2 ，解得m=4 ，满足题意，故m=4 .7.（2020浙江6月学业水平适应性考试）过点A(1,-2) ，且与直线2x-y+1=0 平行的直线的方程为( )A.2x-y-4=0 B.2x-y+4=0C.x+2y-3=0 D.x+2y+3=0答案：A8.（2021湖北宜昌秭归一中高二期中）已知直线kx-y-k+3=0 过定点A ，直线2kx-y-8k=0 过定点B ，则直线AB 的倾斜角为( )A.56 B.23 C.3 D.6答案：A9.已知直线(2t-3)x+y+6=0 ，则该直线过定点 ；若该直线不经过第一象限，则t 的取值范围是 .答案：(0
4、,-6); 32,+)10.（2021上海金山中学高二期中）设直线l ：ax+3y-2=0 ，其倾斜角为 ，若(6,2)(2,34) ，则a 的取值范围为 .答案：a-3 或a3素养提升练11.已知直线l ：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0 与两坐标轴交于A ，B 两点，且点M(-1,-2) 是线段AB 的中点，则实数m 的值为( )A.-13 B.0C.13 D.2答案：B解析：设A(x0,0),B(0,y0) ，将直线l 的方程(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0 化为2x+y+4+m(x-2y-3)=0 ，由2x+y+4=0,x-2y-3=0 得x=-1,y=-2, 直线
5、l 过定点(-1,-2)，即点M(-1,-2) 在直线l 上，、又M 为线段AB 的中点， 由中点坐标公式可得x0=-2,y0=-4 ，将点A(-2,0) 代入直线l 的方程得-4-2m+4-3m=0 ，m=0 .12.设aR ，则“a=3 ”是“直线ax+2y+3a=0 和直线3x+(a-1)y=a-7 平行”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：C解析：当a=3 时，两条直线的方程分别是3x+2y+9=0 和3x+2y+4=0 ，此时两条直线平行成立，反之，当两条直线平行时，有a2=3a-1 且3a27-aa-1 ，即a=3 或a=-2
6、（舍去），故a=3 ，所以“a=3 ”是“直线ax+2y+3a=0 和直线3x+(a-1)y=a-7 平行”的充要条件.13.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|=|PB| ，若直线PA 的方程为x-y+1=0 ，则直线PB 的方程是( )A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0答案：C解析：由x-y+1=0 得A(-1,0) ，又P 的横坐标为2，且|PA|=|PB| ，P 为线段AB中垂线上的点，故B(5,0) .又直线PB 的倾斜角与直线PA 的倾斜角互补， 两直线的斜率互为相反数，故直线PB 的斜率kPB=-1 ， 直线
7、PB 的方程为y=-(x-5) ，即x+y-5=0 .14.设直线l 的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6 ，根据下列条件分别求m 的值.（1）直线l 在x 轴上的截距为1；（2）直线l 的斜率为1.答案：（1）易知直线l 过点(1,0),m2-2m-3=2m-6 ，解得m=3 或m=1 .m=3 时，直线l 的方程为y=0 ，不符合题意，m=1 .（2）由斜率为1得-m2-2m-32m2+m-1=1, 2m2+m-10,解得m=43 .15.（2021福建厦门一中高二月考）已知ABC 的三个顶点是A(1,1),B(-1,3),C(3,4) .（1）求过点A 且与BC
8、垂直的直线l1 的方程；（2）若直线l2 过点C ，且点A ，B 到直线l2 的距离相等，求直线l2 的方程.答案：（1）因为kBC=4-33+1=14 ，且直线l1 与BC 垂直，所以直线l1 的斜率k=-1kBC=-4 ，所以直线l1 的方程是y-1=-4(x-1) ，即4x+y-5=0 .（2）因为直线l2 过点C ，且点A ，B 到直线l2 的距离相等，所以直线l2 与AB 平行或过AB 的中点M .当直线l2 与AB 平行时，因为kAB=3-1-1-1=-1 ，所以直线l2 的方程是y-4=-(x-3) ，即x+y-7=0 .当直线l2 过AB 的中点M 时，因为AB 的中点M 的坐
9、标为(0,2)，所以kCM=4-23-0=23 ，所以直线l2 的方程是y-4=23(x-3) ，即2x-3y+6=0 .综上，直线l2 的方程是x+y-7=0 或2x-3y+6=0 .创新拓展练16.（2021北京教师进修学校附属实验学校高二期中）已知直线l ：kx-y+1+2k=0,kR ，直线l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，坐标原点为O .（1）证明：直线l 过定点；（2）若直线l 在x 轴上的截距小于0，在y 轴上的截距大于0.设AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程；（3）直接写出AOB 的面积S(S0) 在不同取值范围下的直线l 的条数.命题分析 本题考查
10、了直线与两坐标轴围成的三角形的面积问题，第二问主要利用基本不等式求出最值，第三问的关键是将问题转化为两函数图象的交点问题，从而利用数形结合的方式求出.答题要领 （1）把l 的方程化为k(x+2)+(1-y)=0 ，根据恒等式的性质建立方程组求定点；（2）分别求出直线l 在x 轴和y 轴上的截距，写出面积，利用基本不等式求出最值；（3）根据S 的表达式，将待求问题转化为直线y=S(S0) 与曲线y=f(k)=|2k+12k+2| 的交点个数问题，利用图象求解.详细解析 （1）证明：直线l 的方程可变形为kx+2+1-y=0 ，由x+2=0,1-y=0 得x=-2,y=1, 直线l 过定点(-2,
11、1).（2）当x=0 时，y=1+2k ；当y=0 时，x=-1+2kk ， A(-1+2kk,0),B(0,1+2k) ，由题意知-1+2kk0,1+2k0, 解得k0 ，则S=12|OA|OB|=121+2kk(1+2k)=12(4k+1k+4)12(24k1k+4)=4 ，当且仅当4k=1k ，即k=12 时等号成立，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x-2y+4=0 .（3）由（2）可知S=12|OA|OB|=12|1+2kk|1+2k|=|2k+12k+2| ，令f(k)=|2k+12k+2| ，则直线l 的条数等价于曲线y=f(k) 与直线y=S(S0) 的交点个数，画出函数图象，由图可知，当0S4 时，直线l 有2条；当S=4 时，直线l 有3条；当S4 时，直线l 有4条.解题感悟 （1）直线过定点问题常根据恒等式转化为方程求解，也可以转化为点斜式求解.（2）涉及面积的最值问题，一般先确定目标函数，再利用基本不等式或函数的性质求解.
