1、第三节二项式定理【最新考纲】会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题1二项式定理(1)二项式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)；(2)通项公式：Tr1Canrbr，它表示第r1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，C.2二项式系数的性质3.二项式各项系数和(1)(ab)n展开式的各二项式系数和：CCCC2n(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n11(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)Canrbr是(ab)n的展开式中的第r项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()
2、(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同()答案：(1)(2)(3)(4)2(2017广州一模)(3x)n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为()A540B540C600D200解析：本题主要考查二项式定理由题意令x1，则(3x)n的展开式中各项系数和为2n64，解得n6，由二项式定理可得Tr1C36r(x)r(1)rC36rxr，取r3可得x3的系数为(1)3C33540.答案：B3(2015陕西卷)二项式(x1)n(nN*)的展开式中x2的系数为15，则n()A7 B6C5 D4解
3、析：(x1)n(1x)n1CCx2Cxn依题意，得C15，解得n6(n5舍去)答案：B4若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为()A1 B129C128 D127解析：令x1得a0a1a7128.令x0得a0(1)71，a1a2a3a7129.答案：B5(2016衡水质检)在的展开式中，各项的二项式系数和为256，则展开式中常数项是_解析：依题意，得2n256，n8则展开式的通项Tk1C(1)kx8k，令8k0，则k6，因此展开式中的常数项T7C7.答案：7一个定理二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)揭示二项展开式的规律，一定要牢记通项公式T
4、r1Canrbr是展开式的第r1项，不是第r项一点注意切记二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分；前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负两类应用1通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)2展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法(2)可证明整除问题(或求余数)(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法一、选择题1(2015广东卷改编)在(1)4的展开式中，x的系数为()A6B6C4 D4解析：Tr1C()4r(1)r.令r2，则C24(1)26.答案：A2(20
5、16江西八校联考)若(1x)(12x)7a0a1xa2x2a8x8，则a1a2a7的值是()A2 B3C125 D131解析：令x1，则a0a1a2a82.又a0C(1)0201，a8C(2)7128.所以a1a2a721(128)125. 答案：C3若二项式的展开式中的系数是84，则实数a()A2 B.C1 D.解析：Tr1C(2x)7r27rCar，令2r73，则r5.由22Ca584得a1.答案：C4二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A180 B90C45 D360解析：依题意，n10.则的通项公式Tr1C()10r2rCx5r令5r0，得r2.展开式中的
6、常数项T322C180.答案：A5已知C2C22C23C2nC729，则CCCC等于()A63 B64C31 D32解析：逆用二项式定理得C2C22C23C2nC(12)n3n729，即3n36，所以n6，所以CCCC26C64163.答案：A6在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)()A45 B60C120 D210解析：在(1x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)CC.所以f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)CCCCCCCC120.答案：C二、填空题
7、7(2015天津卷)在的展开式中，x2的系数为_解析：设通项为Tr1Cx6rCx62r.令62r2得r2，x2的系数为C.答案：8.的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为_解析：由条件第五项和第六项二项式系数最大，得n9.展开式的第四项为T4C()6.答案：9(2015课标全国卷)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_解析：设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)232，a3.答案：3三、解答题10已知二项式(
8、)n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项解：(1)由题意得CCCC256，2n256，解得n8.(2)该二项展开式中的第r1项为Tr1C()8rCx，令0，得r2，此时，常数项为T3C28.11若(2xx2)的展开式中的常数项为a，求(3x21)dx.解：1，(2xx2)的展开式中的常数项为a211(3)132.故(3x21)dx(x3x)6.12已知a为如图所示的程序框图输出的结果，求二项式的展开式中含x2项的系数解：由题意可知i1，a2，i2，a1；i3，a；i4，a2.则其周期为3，i2 017，则输出a，由此可知a2.Tr1C(a)6r的展开式为含x2的项，2，r1，则x2项的系数C261(1)1192.