1、课时规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固组1.(2020山东鄄城一中高三月考)在梯形ABCD中,ABDC,ADAB,AD=2,则BCAD=()A.-1B.1C.2D.22.(2019四川广元高三期末)在ABC中,若(CA+CB)BA=0,则ABC是()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形3.(2020黑龙江哈师大附中高三调研)已知向量a=(-2,m),b=(1,-2),c=(m+1,5),若ab,则a与b+c的夹角为()A.4B.3C.23D.344.(2020河南南阳中学高三月考)已知向量a=(1,2),A(6,4),B(4,3),b为向量AB在向量a上的投影
2、,则|b|=()A.455B.1C.5D.45.在ABC中,若AB=(1,2),AC=(-x,2x)(x0),则当BC最小时,ACB=()A.90B.60C.45D.306.(多选)(2020山东高考预测卷)已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m0,当x=35时,ymin=165,此时BC最小,CA=35,-65,CB=85,45,CACB=3585-6545=0,CACB,即ACB=90,故选A.6.AC将a=(1,2),b=(m,1)代入b(a+b)=3,得(m,1)(1+m,3)=3,得m2+m=0,解得m=-1或m=0(舍去),所以b=(-1,1),所以|b|=(-1)2+12=2
3、,故A正确;因为2a+b=(1,5),a+2b=(-1,4),14-(-1)5=90,所以2a+b与a+2b不平行,故B错误;设向量2a-b与a-2b的夹角为,因为2a-b=(3,3),a-2b=(3,0),所以cos=(2a-b)(a-2b)|2a-b|a-2b|=22,所以=4,故C正确;向量a在向量b上的投影的数量的绝对值为ab|b|=12=22,故D错误.故选AC.7.BD由于ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3OA+4OB+5OC=0,所以3OA+4OB=-5OC,两边平方并化简得25+24OAOB=25,解得OAOB=0;3OA+5OC=-4OB,两边平方并化简得34+30O
4、AOC=16,解得OAOC=-35;4OB+5OC=-3OA,两边平方并化简得41+40OBOC=9,解得OBOC=-45.所以BOC90,故A错误;AOB=90,故B正确;OBCA=OB(OA-OC)=OBOA-OBOC=45,故C错误;OCAB=OC(OB-OA)=OCOB-OCOA=-45-35=-15,故D正确.故选BD.8.8BD=3DA,CD-CB=3(CA-CD),化简得CD=34CA+14CB.同理可得CE=-14CA+54CB.C=2,CACB=0,CDCA+CECA=CA(CD+CE)=CA12CA+32CB=12CA2+32CACB=12|CA|2=8.9.34-22设a
5、与b的夹角为,0,则|a-2b|=(a-2b)2=|a|2-2|a|2b|cos+|2b|2=13,将|a|=1,|b|=2代入上式,化简可得1-42cos+8=13,解得cos=-22.0,=34,即a与b的夹角为34.根据向量投影的定义可得,a在b上的投影的数量为|a|cos=-22.10.解(1)设向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角为,则cos=(AB+2AC)(2AB+AC)|AB+2AC|2AB+AC|,令|AB|=|AC|=a,则cos=2a2+2a25a5a=45.(2)|AB|=|AC|=2,|AM|=1.设|OA|=x(0x1),则|OM|=1-x.而OB+OC=2OM
6、,OAOB+OCOA=OA(OB+OC)=2OAOM=2|OA|OM|cos=2x2-2x=2x-122-12.当x=12时,OAOB+OCOA取得最小值,最小值是-12.11.解(1)b+c=(cos-1,sin),则|b+c|2=(cos-1)2+sin2=2(1-cos).因为-1cos1,所以0|b+c|24,即0|b+c|2.当cos=-1时,有|b+c|=2,所以向量b+c的模的最大值为2.(2)若=4,则a=22,22.又由b=(cos,sin),c=(-1,0)得a(b+c)=22,22(cos-1,sin)=22cos+22sin-22.因为a(b+c),所以a(b+c)=0
7、,即cos+sin=1,所以sin=1-cos,平方后化简得cos(cos-1)=0,解得cos=0或cos=1.经检验cos=0或cos=1即为所求.12.BC由题可知,(e1+e2)2=2+2e1e2+1=(+e1e2)2+1-(e1e2)21-(e1e2)2.e1,e2是两个单位向量,且|e1+e2|的最小值为32,(e1+e2)2的最小值为34,则1-(e1e2)2=34,解得cos=12,e1与e2的夹角为3或23,|e1+e2|2=1+2e1e2+1=2212=1或3,|e1+e2|=1或3.故选BC.13.AC对于A,设D为BC的中点,由于OA=-(OB+OC)=-2OD,所以O
8、为BC边上中线的三等分点(靠近点D),所以O为ABC的重心,故A正确;对于B,向量AC|AC|,AB|AB|分别表示与AC,AB方向相同的单位向量,设为AC和AB,则它们的差是向量BC,则当OAAC|AC|-AB|AB|=0,即OABC时,点O在BAC的平分线上,同理由OBBC|BC|-BA|BA|=0,知点O在ABC的平分线上,故O为ABC的内心,故B错误;对于C,OA+OB是以OA,OB为邻边的平行四边形的一条对角线,而AB是该平行四边形的另一条对角线,AB(OA+OB)=0表示这个平行四边形是菱形,即OA=OB,同理有OB=OC,于是O为ABC的外心,故C正确;对于D,由OAOB=OBO
9、C得OAOB-OBOC=0,OB(OA-OC)=0,即OBCA=0,OBCA.同理可证OACB,OCAB.OBCA,OACB,OCAB,即O是ABC的垂心,故D错误.故选AC.14.C联立y=x+m,x2+y2=1,消y可得2x2+2mx+m2-1=0.由题意知=-2m2+80,解得-2m2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-m,x1x2=m2-12,y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,AO=(-x1,-y1),AB=(x2-x1,y2-y1).AOAB=32,AOAB=x12-x1x2+y12-y1y2=1-m2-12-m2-12+m2-
10、m2=2-m2=32,解得m=22.故选C.15.AD因为|G|=|F1+F2|为定值,所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|F2|cos=2|F1|2(1+cos),解得|F1|2=|G|22(1+cos);设y=cos,由题意知(0,)时,y=cos单调递减,所以|F1|2单调递增,即越大越费力,越小越省力,A正确;由题意知,的取值范围是(0,),B错误;当=2时,|F1|2=|G|22,所以|F1|=22|G|,C错误;当=23时,|F1|2=|G|2,所以|F1|=|G|,D正确.故选AD.16.140,1ABC为等腰直角三角形,CO为斜边上的高,则CO为边AB上的中线,所以
11、AC=BC=2,AO=BO=CO=1.当P为线段OC的中点时,在ACO中,AP为边CO上的中线,则AP=12(AC+AO),所以APOP=12(AC+AO)OP=12(ACOP+AOOP)=12|AC|OP|cos45+0=1221222=14.当P为线段OC上的动点时,设OP=OC,01,APOP=(AC+CP)OP=ACOP+CPOP=OCAC-(1-)OC(OC)=1222-(1-)=-+2=20,1,所以APOP的取值范围为0,1.17.D设c=(x,y),a=(2,0),b=(1,3),c-a-b=(x-3,y-3),故|c-a-b|=(x-3)2+(y-3)2=3,即(x-3)2+
12、(y-3)2=3,将c的起点放到坐标原点,则终点在以(3,3)为圆心,3为半径的圆上.|c|的最大值即圆心到原点的距离加半径,即9+3+3=33,故选D.18.证明(方法1)设正方形边长为a,由于P是对角线BD上的一点,可设DP=DB(01).则PA=DA-DP=DA-DB=DA-(DA+AB)=(1-)DA-AB.又因为EF=CF-CE=(1-)CD-CB,所以PAEF=(1-)DA-AB(1-)CD-CB=(1-)2DACD-(1-)DACB-(1-)ABCD+2ABCB=-(1-)a2+(1-)a2=0,因此PAEF,故PAEF.(方法2)以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系.设正方形边长为a,由于P是对角线BD上的一点,设DP=DB=2a(01),则A(0,a),P(a,a),E(a,a),F(a,0),于是PA=(-a,a-a),EF=(a-a,-a),因此PAEF=-a(a-a)-(a-a)a=-2a2+a2-a2+2a2=0,因此PAEF,故PAEF.
