1、第2讲空间几何体的表面积与体积组基础关1如图，ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的体积为()A90 B92C96 D88答案C解析解法一：如图1，取CMANBD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥，所以所求几何体的体积VV三棱柱V四棱锥由题知三棱柱ABCNDM的体积为V186372，四棱锥DMNEF的体积为V2S梯形MNEFDN(12)6824，则几何体的体积为VV1V2722496.解法二：把原几何体补成一个直三棱柱，如图2，使AABBCC8，故所求几何体的体积VV三棱柱SABCAA2
2、4896.2一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为()A. B. C. D2答案B解析设圆锥的底面半径为r，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，圆锥的母线长为3r，又圆锥的表面积为，r(r3r)，解得r，母线长l，故圆锥的高h.3(2019安徽皖中入学摸底考试)将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为()A. B. C. D2答案A解析设圆锥的底面半径为r，高为h，则2r3，r1，h2，设内切球的半径为R，则，R，VR33，故选A.4如图，正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥
3、D1EDF的体积()A由E点的位置而定B由F点的位置而定C由E，F点共同确定D为定值答案D解析三棱锥D1EDF的体积即为三棱锥FDD1E的体积因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCDA1B1C1D1中，EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值，所以体积为定值5(2019河南信阳期中联考)我国古代数学名著九章算术对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的“堑堵”，即三棱柱ABCA1B1C1，其中ACBC，若AA1AB1，当“阳马”(四
4、棱锥BA1ACC1)体积最大时，“堑堵”(三棱柱ABCA1B1C1)的表面积为()A.1 B.1 C. D.答案C解析设ACx(x0)，根据题意，BC，则四棱锥BA1ACC1的体积Vx，令tx2(1x2)，t2x4x30，x，故x时，四棱锥BA1ACC1体积最大，故此时三棱柱ABCA1B1C1的表面积Sx12x1.故选C.6已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为_答案144解析设球的半径为R，AOB90，SAOBR2.VOABCVCAOB，而AOB面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，当C为与球的大
5、圆面AOB垂直的直径的端点时，VOABC最大，为R2R36，R6，球O的表面积为4R2462144.7如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1B1C12，A1B1C190，AA14，BB13，CC12，该几何体的体积为_，截面ABC的面积为_答案6解析过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由直三棱柱性质及A1B1C190则VVA1B1C1A2B2CVCABB2A2222(12)226.在ABC中，AB，BC，AC2，则SABC.8(2020驻马店摸底)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，O为BD1的
6、中点，三棱锥OABD的体积为V1，四棱锥OADD1A1的体积为V2，则的值为_答案解析因为O为BD1的中点，所以VOABDVAOBDVAODD1，又因为四边形ADD1A1是平行四边形，所以VAODD1VOADD1VOADD1A1，所以VOABDVOADD1A1，即V1V2，所以.9我国古代数学经典名著九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bi no)若三棱锥PABC为鳖臑，且PA平面ABC，PAAB2，且该鳖臑的外接球的表面积为24，则该鳖臑的体积为_答案解析根据题意，三棱锥PABC为鳖臑，且PA平面ABC，PAAB2，如图所示
7、，可得PABPACABCPBC90.易知PC为外接球的直径，设外接球的半径为R.又该鳖臑的外接球的表面积为24，则R26，则BC 4，则该鳖臑的体积为242.10(2020河南八市重点高中联盟测评)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为_，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为_答案3解析该三棱锥侧面的斜高为 ，则S侧322，S底2，所以三棱锥的表面积S表23.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大设三棱锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V锥S表rS底1，所以3r，所以r，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmaxr3.组能力关1
8、(2019全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A8 B4 C2 D.答案D解析设PAPBPC2a，则EFa，FC，EC23a2.在PEC中，cosPEC.在AEC中，cosAEC.PEC与AEC互补，34a21，a，故PAPBPC.又ABBCAC2，PAPBPC，外接球的直径2R ，R，VR33.故选D.2(2019河北省五校联考)如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为()A.
9、 B. C. D.答案C解析小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球小球运动到左侧与圆锥相切时，其轴截面如图所示由题意，知OAB30，OB1，则OA2.AC1.AD2，ANADcos30.CNANAC 1.小球滚动形成的圆柱的高h10127.小球滚动形成的几何体的体积V12(7)13，V容器121012，V空V容器V.故选C.3我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等已知曲线C：yx2，直线l为曲线C在点(1,1)处的切线如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形
10、，记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为T.给出以下四个几何体：图是底面直径和高均为1的圆锥；图是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图是底面边长和高均为1的正四棱锥；图是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体根据祖暅原理，以上四个几何体中与T的体积相等的是()A B C D答案A解析几何体T是由阴影旋转得到的，所以横截面为环形，且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为x1，切线对应的横坐标为x2.f(x)x2，f(x)2x，kf(1)2，切线为y12(x1)，即y2x1，xy，x2.横截面面积Sxx
11、2.图中的圆锥高为1，底面半径为，可以看成由直线y2x1绕y轴旋转得到的，横截面的面积为Sx22.所以几何体T和中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，故选A.4已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，则正三棱柱的底面边长为_，这个三棱柱的表面积为_. 答案218解析由已知得，所以R1，所以三棱柱的高h2R2.设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径ra1，解得a2，所以该三棱柱的表面积为3a2R2a218.5(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为
12、5，则该圆锥的侧面积为_答案40解析因为母线SA，SB所成角的余弦值为，所以母线SA，SB所成角的正弦值为，因为SAB的面积为5，设母线长为l，所以l25，所以l280，因为SA与圆锥底面所成角为45，所以底面圆的半径为lcosl，因此，圆锥的侧面积为rll240.6如图所示，等腰三角形ABC的底边AB6，高CD3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EFAB，现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE，记BEx，V(x)表示四棱锥PACFE的体积，求V(x)的最大值解因为PEEF，PEAE，EFAEE，所以PE平面ABC.因为CDAB，FEAB，所以EFCD，所以，即，所以EF，所以SABC639，SBEFxx2，所以V(x)xx(0x0，V(x)单调递增；当6x3时，V(x)0，V(x)单调递减，因此当x6时，V(x)取得最大值12.
