1、第三节 函数的奇偶性与周期性 2017 考纲考题考情 考纲要求 真题举例 命题角度 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。2016，山东卷，9,5 分(函数的奇偶性、周期性)2016，四川卷，14,5 分(函数的奇偶性、周期性)2015，全国卷，13,5 分(函数的奇偶性)2014，全国卷，15,5 分(函数的奇偶性、单调性)2014，全国卷，3,5 分(函数的奇偶性)1.函数的奇偶性与周期性是高考重要考点，常将奇偶性、周期性与单调性综合在一起交汇命题；2.题型多以选择题、填空题形式
2、出现，一般为容易题，但有时难度也会很大。微知识 小题练 自|主|排|查 1函数的奇偶性 奇偶性 条件 图象特点 偶函数 对于函数 f(x)的定义域 D 内任意一个 x，都有 f(x)f(x)关于 y 轴对称 奇函数 对于函数 f(x)的定义域 D 内任意一个 x，都有 f(x)f(x)关于原点对称 2.周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期。(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x
3、)的最小正周期。微点提醒 1函数奇偶性常用结论(1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|)。(2)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性。(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇。2函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0)。(2)若 f(xa)1fx，则 T2a(a0)。(3)若 f(xa)1fx，则 T2a(a0)。小|题|快|练 一、走进教材 1(必修 1P39A 组 T6改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当
4、 x0 时，f(x)x21x，则 f(1)等于()A2 B0 C1 D2【解析】f(1)f(1)(11)2。故选 A。【答案】A 2(必修 1P39A 组 T6改编)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f(x)x24x，那么，不等式 f(x2)5 的解集是_。【解析】方法一：当 x0 时，x0，f(x)(x)24(x)x24x，又 f(x)为偶函数，所以 f(x)f(x)x24x，当 x2，)时，x20，f(x2)(x2)24(x2)5，解得：3x3，所以2x3；当 x(，2)时，x20，f(x2)(x2)24(x2)5，解得7x1，所以7x2。综上可得7x3，故 f(x2)
5、5 的解集是x|7x3。方法二：如图所示，可知 f(x)5 的解集为x|5x5，所以5x25，即7x3，故 f(x2)5 的解集为x|7x3。【答案】x|7x3 二、双基查验 1下列函数中为偶函数的是()Ayx2sinx Byx2cosx Cy|lnx|Dy2x【解析】根据偶函数的定义知偶函数满足 f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数。故选 B。【答案】B 2已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么 ab 的值是()A13 B.13 C.12 D12【解析】f(x
6、)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a13。又 f(x)f(x)，b0，ab13。故选 B。【答案】B 3设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数【解析】设 H(x)f(x)|g(x)|，则 H(x)f(x)|g(x)|，因为 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以 H(x)f(x)|g(x)|H(x)，故 H(x)是奇函数。故选 C。【答案】C 4 设 f(x)是 定 义 在 R 上
7、 的 周 期 为 2 的 函 数，当 x 1，1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x0的 x 的取值范围是_。【解析】由 f(x)是奇函数知，f(x)的图象如图所示，f(x)0 的 x 的取值范围为(1,0)(1，)。【答案】(1,0)(1，)微考点 大课堂 考点一 函数奇偶性的判断【典例 1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)1x2 x21；(2)f(x)3x3x；(3)f(x)4x2|x3|3；(4)f(x)(x1)1x1x，x(1,1)。【解析】(1)因为由 x210，1x20，得 x1，所以 f(x)的定义域为1,1。又 f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即 f(x)f(
8、x)。所以 f(x)既是奇函数又是偶函数；(2)因为 f(x)的定义域为 R，所以 f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以 f(x)为奇函数；(3)因为由 4x20，|x3|30，得2x2 且 x0。所以 f(x)的定义域为2,0)(0,2，所以 f(x)4x2|x3|34x2x3 4x2x，所以 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数；(4)已知 f(x)的定义域为(1,1)，其定义域关于原点对称。因为 f(x)(x1)1x1xxx，所以 f(x)xxf(x)。即 f(x)f(x)，所以 f(x)是偶函数。【答案】(1)既是奇函数又是偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)偶函数 反思归纳
9、 判断函数的奇偶性要注意两点：1定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提。2判断 f(x)与 f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或 f(x)f(x)0(偶函数)是否成立。【变式训练】(2015广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayxex Byx1x Cy2x12x Dy 1x2【解析】函数 yxex的定义域为 R，关于原点对称，因为 f(1)1e，f(1)11e，所以函数 yxex既不是奇函数，也不是偶函数；函数 yx1x的定义域为x|x0，关于原点对称，因为 f(x)x1xx1x f(x
10、)，所以函数 yx1x是奇函数；函数 f(x)2x12x的定义域为 R，关于原点对称，因为 f(x)2x 12x12x2xf(x)，所以函数 f(x)2x12x是偶函数；函数 y 1x2的定义域为 R，关于原点对称，因为 f(x)1x2 1x2f(x)，所以函数 y 1x2是偶函数。故选 A。【答案】A 考点二 函数周期性的应用母题发散【典例 2】设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x0,2)时，f(x)2xx2，则 f(0)f(1)f(2)f(2 016)_。【解析】f(x2)f(x)，函数 f(x)的周期 T2。又当 x0,2)时，f(x)2xx2，所以 f(0
11、)0，f(1)1，所以 f(0)f(2)f(4)f(2 016)0，f(1)f(3)f(5)f(2 015)1。故 f(0)f(1)f(2)f(2 016)1 008。【答案】1 008【母题变式】1.若将“f(x2)f(x)”改为“f(x1)f(x)”，则结论如何？【解析】f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)。故函数 f(x)的周期为 2。由本典例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 016)1 008。【答案】1 008 2若将“f(x2)f(x)”改为“f(x1)1fx”，则结论如何？【解析】f(x1)1fx，f(x2)f(x1)11fxf(x)。故函数 f(x)
12、的周期为 2。由本典例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 016)1 008。【答案】1 008 反思归纳 1判断函数的周期只需证明 f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题。2根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期。【拓展变式】(2016四川高考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当0 x1 时，f(x)4x，则 f52 f(1)_。【解析】因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0
13、。又 f(x)f(x)，f(x2)f(x)，所以 f(x1)f(x1)f(1x)，令 x0，得 f(1)f(1)，所以 f(1)0。f52 f212 f12 f122，所以 f52 f(1)2。【答案】2 考点三 函数性质的综合应用多维探究 角度一：函数单调性与奇偶性的结合【典例 3】定义在 R 上的偶函数 yf(x)在0，)上递减，且 f12 0，则满足 f(log14x)0 的 x 的集合为()A.，12(2，)B.12，1(1,2)C.0，12(2，)D.12，1(2，)【解析】由题意可得 f(log14x)f(|log14x|)12，即 log14x12或 log14x12，解得 0
14、x2，所以满足不等式 f(log14x)0 的 x的集合为0，12(2，)。故选 C。【答案】C 角度二：函数奇偶性与周期性的结合【典例 4】(2016山东高考)已知函数 f(x)的定义域为 R。当 x12时，fx12 fx12。则 f(6)()A2 B1 C0 D2【解析】由题意可知，当1x1 时，f(x)为奇函数，且当 x12时，f(x1)f(x)，所以 f(6)f(511)f(1)。而 f(1)f(1)(1)312，所以 f(6)2。故选 D。【答案】D 角度三：已知函数奇偶性求参数值【典例 5】(2015全国卷)若函数 f(x)xln(x ax2)为偶函数，则 a_。【解析】解法一：因
15、为 yx 是奇函数，要使 f(x)为偶函数，只需 g(x)ln(x ax2)为奇函数，则有 g(0)ln a0，解得 a1。解法二：由题意知 yln(x ax2)是奇函数，所以 ln(x ax2)ln(x ax2)ln(ax2x2)lna0，解得 a1。【答案】1 反思归纳 函数奇偶性的问题类型及解题思路 1函数单调性与奇偶性结合。注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性。2周期性与奇偶性结合。此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。3已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，利用 f(x
16、)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解。【变式训练】(1)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)1，f(2)2，则 f(3)f(4)等于()A1 B1 C2 D2(2)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)1 对于 xR 恒成立，且 f(x)0，则f(119)_。(3)若 f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又有 f(3)0，则 xf(x)0 的解集是_。【解析】(1)由 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数知 f(3)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，所以 f(3)f(4)1。故选 A。(2)因
17、为 f(x2)1fx，所以 f(x4)f(x22)1fxf(x)，所以 f(x)为周期函数，且周期为 4，又因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)f(x)，所以 f(119)f(2943)f(3)f(34)f(1)f(1)，又因为 f(12)1f，所以 f(1)f(1)1 即 f2(1)1，因为 f(x)0，所以 f(1)1，所以 f(119)1。(3)由题意可得，函数 f(x)在(，0)上是增函数，且 f(3)f(3)0，函数的单调性示意图如图所示，由不等式 xf(x)0 可得，x 与 f(x)的符号相反，结合函数 f(x)的图象可得，不等式的解集为(3,0)(0,3)。【答案】(1)A(2
18、)1(3)(3,0)(0,3)微考场 新提升 1设函数 f(x)为偶函数，当 x(0，)时，f(x)log2x，则 f(2)()A12 B.12 C2 D2 解析 因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(2)f(2)log2 212。故选 B。答案 B 2函数 f(x)lg|sinx|是()A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 2 的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 2 的偶函数 解析 f(x)lg|sin(x)|lg|sinx|，函数 f(x)为偶函数。f(x)lg|sin(x)|lg|sinx|，函数 f(x)的周期为。故选 C。答案 C 3(2016深圳一调)已知函数
19、f(x)是 R 上的偶函数，g(x)是 R 上的奇函数，且 g(x)f(x1)，若 f(3)2，则 f(2 015)的值为()A2 B0 C2 D2 解析 f(x)是 R 上的偶函数，g(x)是 R 上的奇函数，且 g(x)f(x1)，g(x)f(x1)f(x1)g(x)f(x1)。即 f(x1)f(x1)。f(x2)f(x)。f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)。函数 f(x)是周期函数，且周期为 4。f(2 015)f(3)2。故选 A。答案 A 4函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x0 时，f(x)x1，则当 x0 时，f(x)x1，当 x0，f(x)f(x)(x1)，即 x0 时，f(x)(x1)x1。答案 x1 5设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当 0 x1 时，f(x)2x1，则 f12 f(1)f32 f(2)f52 _。解析 依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2，f12 f(1)f32 f(2)f52 f12 f(1)f12 f(0)f12 f12 f(1)f12 f(0)f12 f12 f(1)f(0)2121211201 2。答案 2
