1、第四章 数列A卷 基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知数列中，则（ ）ABCD2已知数列满足：，的前项和为，则当时，（ ）ABCD3我国南宋数学家杨辉1261年所著的解析九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前35项和为（ ）A994B995C1003D10044高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，
2、高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列的前n项和为，则n的值为（ ）A8B11C13D175已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（ ）ABCD6定义为个正数的“均倒数”若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）ABCD7在等差数列中，首项，公差，前项和为（），有下列叙述：（1）若，则必有；（2）若，则必有；（3）若，则必有.其中叙述正确的序号是（ ）A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3）8已知函数，若等比数列满足，则（ ）ABC2D2021二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有
3、多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知等差数列的前项和为，若，则（ ）A若，则数列的前2020项和为4040B数列是公比为8的等比数列CD若，则数列的前2020项和为10我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（ ）A相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B春分和秋分两个节气的晷长相同C小雪
4、的晷长为一丈五寸D立春的晷长比立秋的晷长短11张丘建算经是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，则（ ）AB数列是等比数列CD12如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（）AB数列是等
5、比数列CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13设数列满足，数列前n项和为，且（且）若表示不超过x的最大整数，数列的前n项和为，则的值为_14在各项均为正数的等比数列中，公比，若，数列的前项和为，则数列前n项和为_.15设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若数列an满足：存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列，则的最小值为_.16已知数列的前项和，若对任意的，都有，则实数的取值范围为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17求数列的通项公式：（1）已知数列满足，且，求数列的通项公
6、式；（2）已知数列满足，求数列的通项公式18已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式19已知为数列的前项和，且是和的等差中项，求满足的正整数的集合.20数列满足，且（且）（1）求、，并证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式21已知数列的各项均为正数，记数列的前项和为，数列的前项和为，且，（1）求的值及数列的通项公式；（2）若有，求证：22设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称an是“H数列”.（1）若数列an的前n项和Sn=2n（nN），证明：an是“H数列”；（2）设an是等差数列，其首项a1=1
7、，公差d0.若an是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列an，总存在两个“H数列”bn和cn，使得an=bn+cn（nN）成立一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知数列中，则（ ）ABCD【答案】C【解析】依题意数列中，整理得，由于，故解得.，以此类推，所以.故选：C2已知数列满足：，的前项和为，则当时，（ ）ABCD【答案】D【解析】当，时，即，.故选：D3我国南宋数学家杨辉1261年所著的解析九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所
8、有为1的项，依次构成数列，则此数列的前35项和为（ ）A994B995C1003D1004【答案】B【解析】没有去掉“1”之前，第1行的和为，第2行的和为，第3行的和为，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则前项和为每一行的个数为1，2，3，4，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则前项总个数为当时，去掉两端“1”，可得，则去掉两端“1”后此数列的前36项和为，所以第36项为第10行去掉“1”后的最后一个数为，所以该数列的前35项和为故选：B.4高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“
9、数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列的前n项和为，则n的值为（ ）A8B11C13D17【答案】D【解析】根据题意，即，两式相加得到所以，故选：D5已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（ ）ABCD【答案】A【解析】设数列是公比为的等比数列，数列是公差为的等差数列，若，则，即为，即，则故选：A6定义为个正数的“均倒数”若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由已知得，当时，验证知当时也成立，故选：D7在等差数列中，首项，公差，前项和为（），有下列叙述：（1）若，则必有；（2）若，则必有；
10、（3）若，则必有.其中叙述正确的序号是（ ）A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3）【答案】D【解析】对于（1）若，则有，则有，所以，所以.因为，所以，所以，所以，所以.故（1）正确.对于（2）若，则有，所以.故（2）正确；对于（3）若，则有，因为，所以,所以，所以,即.故（3）正确.故选：D8已知函数，若等比数列满足，则（ ）ABC2D2021【答案】D【解析】，得，则，又是等比数列，则，所以；，所以.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知等差数列的前项和为
11、，若，则（ ）A若，则数列的前2020项和为4040B数列是公比为8的等比数列CD若，则数列的前2020项和为【答案】AD【解析】等差数列的前项和为，若，设的公差为，则有，解得，故，若，则的前2020项，故A正确；由，得，令，则当时，则数列是公比为的等比数列，故B错误；由等差数列的性质可知，故C错误；若，则的前2020项和，故D正确，故选：AD.10我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏
12、至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（ ）A相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B春分和秋分两个节气的晷长相同C小雪的晷长为一丈五寸D立春的晷长比立秋的晷长短【答案】AB【解析】现以寸为单位，由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中，公差.同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，其中，公差，故相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸，即一尺，故选项A正确；因为春分的晷长为，所以，因为秋分的晷长为，所以，故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；因为小雪的晷长为，所以，即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分
13、别为，所以，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D错误.故选：AB.11张丘建算经是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，则（ ）AB数列是等比数列CD【答案】BD【解析】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，首项，则，解得，.，数列是等比数列，B选项正确；，A选项错误；，
14、C选项错误；，D选项正确.故选：BD.12如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（）AB数列是等比数列CD【答案】AB【解析】为中点，即，三点共线，又，化简得：，是以为首项，为公比的等比数列，B正确；，C错误；则，A正确；，D错误.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13设数列满足，数列前n项和为，且（且）若表示不超过x的最大整数，数列的前n项和为，则的值为_【答案】2023【解析】当时，从第2项起是等差数列.又，当时，（），当时，.又，.故答案为：202314在各项均为正数的等
15、比数列中，公比，若，数列的前项和为，则数列前n项和为_.【答案】【解析】由题意，由等比数列的性质可得，解得，解得，则，则数列为等差数列，故，故答案为：15设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若数列an满足：存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列，则的最小值为_.【答案】45【解析】根据题意，数列an为等差数列，设anpn+q，若存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列，则有，即联立两式，变形可得p2rtp2s2，又由等差数列an的公差不为0，即p0，则有rts2，可得p
16、q（r+t）2pqs，又由r，s，t互不相等且rts2，则r+t2s，必有q0，则anpn，所以S1a1p，Sn，故+，设f（n）+，则f（n）+2+2+，当且仅当n21980时等号成立，此时n不是正整数，不符合题意，而4445，所以f（44）+45，f（45）45，则有f（45）f（44），即的最小值为45故答案为：45.16已知数列的前项和，若对任意的，都有，则实数的取值范围为_【答案】【解析】由题意，知，所以，当时也满足上式，所以，所以，又因为对任意的，都有，所以且，所以.故实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17求数列的
17、通项公式：（1）已知数列满足，且，求数列的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的通项公式【答案】（1）；（2）【解析】（1）将两边倒过来变形可知是以为首项，2为公差的等差数列根据等差数列通项公式可求出，从而可得；（2）将两边同时除以，得，利用累加法可求得结果（1）由得，是常数又，是以为首项，2为公差的等差数列，（2）将两边同时除以，得，则，则18已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式【答案】证明见解析；【解析】证明：由题知，得，所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，当时，当时，也符合题意，所以，又所以.19已知为数列的前项和，且是和的等差中项，
18、求满足的正整数的集合.【答案】【解析】因为数列的前项和，且是和的等差中项，则，当时，整理得：，而，即，因此得，数列是公比为2，首项为1的等比数列，其通项为，而，于是得是首项为1，公比为的等比数列，则，由得：，即，解得，而，则或，所以所求的正整数的集合是.20数列满足，且（且）（1）求、，并证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式【答案】（1），证明见解析；（2）.【解析】（1）因为，且（且），则，由已知可得，则对任意的，所以当时，故数列是等比数列；（2）由（1）可知，数列是等比数列，且首项为，公比为，所以，因此，.21已知数列的各项均为正数，记数列的前项和为，数列的前项和为，且，（1）求的值
19、及数列的通项公式；（2）若有，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）当时，即，化简整理，得，解得：或（舍去），当时，由，可得，两式相减可得，即所以，将代入，可得，解得：，当时，由，可得，两式相减可得，整理得:，且也满足上式，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以； （2）证明：，所以，故22设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称an是“H数列”.（1）若数列an的前n项和Sn=2n（nN），证明：an是“H数列”；（2）设an是等差数列，其首项a1=1，公差d0.若an是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列an，
20、总存在两个“H数列”bn和cn，使得an=bn+cn（nN）成立.【答案】（1）证明见解析；（2）-1；（3）证明见解析.【解析】（1）由已知，当n1时，an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数m=n+1，使得Sn=2n=am，所以an是“H数列”.（2）由已知得，S2=2a1+d=2+d.因为an是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2=am，即2+d=1+（m-1）d，于是（m-2）d=1.因为d0，所以m-20，故m=1，从而d=-1.当d=-1时，an=2-n，Sn=是小于2的整数，nN*.于是对任意的正整数n，总存在正整数m=2-Sn=2-，使得Sn=2-m=am，所以an是“H数列”，因此d的值为-1.（3）证明：设等差数列an的公差为d，则an=a1+（n-1）d=na1+（n-1）（d-a1）（nN*）.令bn=na1，cn=（n-1）（d-a1），则an=bn+cn（nN*）.下证bn是“H数列”.设bn的前n项和为Tn，则Tn=a1（nN*）.于是对任意的正整数n，总存在正整数m=，使得Tn=bm，所以bn是“H数列”.同理可证cn也是“H数列”.所以对任意的等差数列an，总存在两个“H数列”bn和cn，使得an=bn+cn（nN*）成立24