1、3.2函数的基本性质专题检测1.(2017北京朝阳期中)已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x22,+),且x1x2,不等式 f(x1)-f(x2)x1-x20恒成立,则实数a的取值范围是()A.12,+B.12,+C.14,+D.14,+答案D由题意知函数f(x)在2,+)上单调递增,则a0,12a2,解得a14,故选D.2.(2018河北石家庄一模,9)设f(x)是定义在-2b,3+b上的偶函数,且在-2b,0上为增函数,则f(x-1)f(3)的解集为()A.-3,3B.-2,4C.-1,5D.0,6答案B因为f(x)是定义在-2b,3+b上的偶函数,所以有-2b+3+b=0,解得
2、b=3,由函数f(x)在-6,0上为增函数,得f(x)在(0,6上为减函数,故f(x-1)f(3)f(|x-1|)f(3)|x-1|3,故-2x4.选B.3.(2018广东省际名校(茂名)联考(二),4)设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是()A.y=1f(x)在R上为减函数B.y=|f(x)|在R上为增函数C.y=-1f(x)在R上为增函数D.y=-f(x)在R上为减函数答案DA错,如f(x)=x3,则y=1f(x)的定义域为(-,0)(0,+),在定义域上无单调性;B错,如f(x)=x3,则y=|f(x)|在R上无单调性;C错,如f(x)=x3,则y=-1f(x)的定义域为
3、(-,0)(0,+),在定义域上无单调性.故选D.4.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,4)已知aR,则“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C当a=0时,f(x)=x2是偶函数,充分性成立;当f(x)=x2+ax是偶函数时,f(-x)=f(x),解得a=0,必要性成立,所以“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函数”的充分必要条件.故选C.5.(2018吉林长春二模,4)若f(x)=2x-3,x0,g(x),x0,g(x),x0是奇函数,x0时,g(x)=-12x+3,g(-2)=-12-2+3=
4、-1,f(g(-2)=f(-1)=g(-1)=-12-1+3=1.故选C.6.(2018甘肃庆阳一中5月模拟,10)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=f(x),当x(4,6时,f(x)=2x+1,则f(x)在区间-2,0)上的表达式为()A.f(x)=2x+1B.f(x)=-2-x+4-1C.f(x)=2-x+4+1D.f(x)=2-x+1答案B当x-2,0)时,-x(0,2,-x+4(4,6,又当x(4,6时,f(x)=2x+1,f(-x+4)=2-x+4+1.又f(x+4)=f(x),f(-x+4)=f(-x),又函数f(x)是R上的奇函数,f(-x)=-f(x),-f(x)=
5、2-x+4+1,当x-2,0)时,f(x)=-2-x+4-1.故选B.7.(2019北京朝阳一模,4)若函数f(x)=2x,x1,-log2x,x1,则函数f(x)的值域是()A.(-,2)B.(-,2C.0,+)D.(-,0)(0,2)答案A当x1时,f(x)=2x.如图,f(x)为单调递增函数,值域为(0,2);当x1时,f(x)=-log2x.如图,f(x)为单调递减函数,值域为(-,0.综上,f(x)的值域为(-,2).故选A.8.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,13)已知函数f(x)=aln(-x)(x0,x2e)的图象上存在点关于y轴对称,则实数a的取值范围是.
6、答案a0)为函数y=f(x)的图象上任一点,则(-x,y)也在y=f(x)的图象上,则有12e-x=alnx,1a=(2e-x)lnx.设g(x)=(2e-x)lnx(x0),则g(x)=-lnx+2e-xx=-lnx+2ex-1,g(x)=-1x-2ex2,则g(x)0,当x(e,+)时,g(x)0,g(x)g(e)=e,1ae,a0,x0).(1)求证:f(x)在(0,+)上是增函数;(2)若f(x)在12,2上的值域是12,2,求a的值.解析(1)设任意x2x10,则x2-x10,x1x20.因为f(x2)-f(x1)=1a-1x2-1a-1x1=1x1-1x2=x2-x1x1x20,所
7、以f(x2)f(x1),所以f(x)在(0,+)上是增函数.(2)因为f(x)在12,2上的值域是12,2,又由(1)得f(x)在12,2上是单调增函数,所以f12=12,f(2)=2,易知a=25.14.(2018江苏泰州中学期中,17)已知函数f(x)=x2+(x-1)|x-a|.(1)若a=-1,求满足f(x)=1的x的取值集合;(2)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;(3)若a1且不等式f(x)2x-3对一切实数xR恒成立,求a的取值范围.解析(1)当a=-1时,有f(x)=2x2-1,x-1,1,x-1.当x-1时,2x2-1=1,解得x=1或x=-1,当x-1时,f(x)=1恒成立,x的取值集合为x|x-1或x=1.(2)f(x)=2x2-(a+1)x+a,xa,(a+1)x-a,x0,解得a13,即实数a的取值范围是13,+.(3)设g(x)=f(x)-(2x-3),则g(x)=2x2-(a+3)x+a+3,xa,(a-1)x-a+3,xa.若不等式g(x)0对一切实数xR恒成立,则当xa时,a1,g(x)单调递减,其值域为(a2-2a+3,+).a2-2a+3=(a-1)2+22,g(x)0恒成立.当xa时,a1,aa+34,g(x)min=ga+34=a+3-(a+3)280,得-3a5.a1,-3a1,综上,a的取值范围是-3,1).
