1、第三节基本不等式复习目标学法指导1.会推导基本不等式.2.会用基本不等式求最值.1.基本不等式具有放缩功能.2.基本不等式可以用来求函数式的最值,但必须具备三个条件,即一正、二定、三相等.3.合理配凑基本不等式的三个条件求最值.4.求最值时尽量避免多次使用基本不等式,若多次使用,必须保证它们等号成立的条件一致,否则会出现错误.(对应学生用书第50页)一、基本不等式基本不等式:(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.1.概念理解(1)基本不等式成立的条件是a,b都是正数,在解题时,如果
2、a,b为负数,可提取负号,创造变量为正数的条件,再利用基本不等式解题.(2)在运用基本不等式解题时,注意一定要验证它们成立的条件是否满足.2.与之相关联的结论几个常用的不等式(1)a2+b22ab(a,bR).(2)ab()2(a,bR).(3)()2(a,bR).(4)+2(ab0).(5)(a0,b0).(6)a+2(a0),当且仅当a=1时取等号;a+-2(a0)或f(x)+-2(b0),求最值时,若使等号成立的条件不存在,常借助函数y=x+ (b0)的图象和单调性求式子的最值.1.已知a,bR,a,b0,则“a0,b0”是“”的(C)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条
3、件(D)既不充分也不必要条件解析:当a0,b0时,显然成立.当成立时,有两个结论出现:所以a0,b0.故选C.2.已知a0,b0,a+b=2,则y=+的最小值是(C)(A)(B)4(C)(D)5解析:依题意,得+=(+)(a+b)= 5+(+)(5+2)=,当且仅当即a=,b=时取等号,即+的最小值是.故选C.3.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.解析:因为x2+2y22=2,当且仅当x2=2y2时取“=”,所以x2+2y2的最小值为2.答案:24.已知a,b为正数且a+b=1,则(1+)(1+)的最小值为.解析:因为a+b=1,所以原式=(1+)(1+)=(2+)(2+)=
4、5+2(+)9,当且仅当a=b=时取等号,所以最小值为9.答案:9(对应学生用书第5052页)考点一利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2018浙江六校联考)已知x0,y0,且x+y+=5,则x+y的最大值是()(A)3(B)(C)4(D)(2)(2018嘉兴高三测试)已知a0,b0,且满足3a+b=a2+ab,则2a+b的最小值为;(3)已知正实数a,b满足+=3,则(a+1)(b+2)的最小值是;(4)已知实数x,y0,且xy=2,则的最小值是.解析:(1)由x+y+=5,得5=x+y+,因为x0,y0,所以5x+y+=x+y+,所以(x+y)2-5(x+y)+40,解得1x+y4,所以
5、x+y的最大值是4.故选C.(2)由a0,b0,3a+b=a2+ab,可得b=0,解得1a0,b0,所以3 =+2ab.当且仅当即时等号成立,所以ab的最小值是,又+=3,所以2a+b=3ab,所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=4ab+24+2=.(4)因为x,y0,且xy=2,所以=(x+2y)-,令x+2y=t,则t=x+2y2=4,f(t)=t-在4,+)上单调递增,所以当t=4时有最小值4-=1,当且仅当x=2,y=1时,取等号.答案:(1)C(2)3+2(3)(4)1 (1)利用基本不等式解决最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:对条件使用基本不等式,
6、建立所求目标函数的不等式求解;条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过变形使之能运用基本不等式,常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因数法、分离常数法、换元法、整体代换法等.1.(2018杭州二中月考)若正数a,b满足+=1,则+的最小值为(B)(A)1(B)6(C)9(D)16解析:因为正数a,b满足+=1,所以b=0,解得a1,同理b1,所以+=+=+9(a-1)2=6,当且仅当=9(a-1),即a=时等号成立,所以+的最小值为6.故选B.2.已知log2(x+y)=log 2x+log2 y,则+=,x+2y的最小值为.解
7、析:由log2(x+y)=log2 x+log2 y得,x+y=xy且x0,y0,所以+=1.x+2y=(x+2y)(+ )=3+3+2=3+2,当且仅当=,即x=1+,y=时取等号.答案:13+2考点二利用基本不等式证明不等式【例2】 已知a0,b0,c0,且a+b+c=1.求证:+9.证明:因为a0,b0,c0,且a+b+c=1,所以+=+=3+=3+(+)+(+)+(+)3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=时,取等号. 利用基本不等式证明不等式的策略(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;(2)若题
8、目中还有已知条件,则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换;(3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立.1.已知a0,b0,a+b=1,求证:+8.证明:+=2(+),因为a+b=1,a0,b0.所以+=+=2+2+2=4.所以+8(当且仅当a=b=时等号成立).2.已知a0,b0,a+b=1,证明:+2.证明:因为a0,b0,且a+b=1,所以+=+=2.当且仅当a+=1,b+=1,即a=b=时等号成立.考点三基本不等式的综合应用【例3】 运货卡车以每小时x(50x100)千米的速度匀速行驶130千米,假设汽油的价格是每升2元,而卡车每小时耗油(2+)
9、升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.解:(1)设所用时间为t=(小时),y=2(2+)+14,x50,100.所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=+x,x50,100.(2)y=+x=+x26,当且仅当=x,即x=18时,等号成立.故当x=18千米/时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元. 有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值;(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(3)解应用题时,一定要注意变量的实际
10、意义及其取值范围;(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.1.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).(1)写出楼房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)解:(1) 依题意得y=(560+48x)+=560+48x+(x10,xN*).(2)因为x0,所以48
11、x+2=1 440,当且仅当48x=,即x=15时取到“=”,此时,楼房每平方米的平均综合费用的最小值为560+1 440=2 000(元).故当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2 000元.2.为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在某年年初举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t0)万元满足x=4-(k为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知这一年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两
12、部分).(1)将该厂家这一年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;(2)该厂家这一年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?解:(1)由题意有1=4-,得k=3,故x=4-.故y=1.5x-(6+12x)-t=3+6x-t=3+6(4-)-t=27-t(t0).(2)由(1)知,y=27-t=27.5-+(t+).+(t+)2=6,故y=27-t=27.5-+(t+)27.5-6=21.5.当且仅当=t+,即t=2.5时,等号成立,y有最大值21.5.所以,该厂家这一年的年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大,最大利润为21.5万元.考点四易错辨析【例4】 已知x,求函数y=4x
13、-2+的最大值.解:因为x0.y=4x-2+=-(5-4x+)+3-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1. 运用基本不等式求最值,当条件不满足和或积为定值时,可以通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的代数式化为ax+(ab0)等形式,本题就是一个典型例子,盲目使用条件是本题的易错点.1.(2017天津卷)若a,bR,ab0,则的最小值为.解析:因为a,bR,ab0,所以=4ab+2=4,当且仅当即时取得等号.故的最小值为4.答案:42.设常数a0,若9x+a+1对一切正实数x成立,求a的取值范围.解:常数a0,若9x+a+1对一切正实数x成立,故(9
14、x+)mina+1,又9x+6a,当且仅当9x=,即x=时,等号成立.故6aa+1,解得a.即a的取值范围为,+).(对应学生用书第53页)类型一利用基本不等式比较大小1.设0ab,则下列不等式中正确的是(B)(A)ab(B)ab(C)ab(D)ab解析:因0ab,所以a2abb2,即ab,又因a+b2b,所以b,又因,所以a0,y0,且x+2y=xy,若x+2y-m2-2m0恒成立,则实数m的取值范围是(B)(A)-4,2)(B)(-4,2)(C)(-3,3)(D)-3,3解析:由x0,y0,x+2y=xy变形得,+ =1,所以x+2y=(x+2y)(+)=+44+4=8,当且仅当=,即x=
15、2y时等号成立,又+=1,得x=4,y=2,即当x=4,y=2时,x+2y取得最小值,且最小值为8.由x+2y-m2-2m0恒成立,得(x+2y)minm2+2m,从而8m2+2m,解得-4m2.所以实数m的取值范围是(-4,2).故选B.3.(2018杭州质检)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是.解析:由题意得y=,所以2x+y=2x+=(x+)3,当且仅当x=y=1时,等号成立.答案:34.函数f(x)=lg ,若f(a)+f(b)=0,则+的最小值为.解析:依题意得0a2,0b0,b0,不等式+恒成立,则m的最大值为.解析:因为a0,b0,不等式+恒成立,所以m
16、(a+3b)( +)min.因为(a+3b)(+)=6+6+2=12,当且仅当a=3b时取等号,所以m的最大值为12.答案:12类型三基本不等式的综合应用6.(2018天津卷)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为.解析:因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6,所以2a+=2a+2-3b2=2=2=22-3=,当且仅当时等号成立,即时取到等号.答案:7.规定一种运算:ab=+a+b(a,b为正实数).若1k=3,则k的值为,此时函数f(x)=的最小值为.解析:1k=+1+k=3,即k+-2=0,所以=1或=-2(舍去),所以k=1,f(x)=1+1+2=3,当且仅当x=1时取“=”.答案:138.已知a0,b0,设M=max(a,+),则M的最小值为.解析:在同一坐标系中作出函数y=a,y=的图象(图略),可得M=0aa0,其中a0是函数y=a,y=图象的交点横坐标,即=b+6(当且仅当b=3时,取得“=”),所以M的最小值为a0,而a0,所以M的最小值为.答案:
