1、第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义课后篇巩固提升基础巩固1.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1解析设z=x+yi(x,yR).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=x2+(y-1)2=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.答案C2.若复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i表示的点在虚轴上,则实数m的值为()A.-1B.4C.-1或4D.-1或6解析由题意,知m2-3m-4=0,m=4或m=-1.答案
2、C3.复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i,则|z1|2+|z2|2=()A.10B.25C.100D.200解析设O为复平面原点,则|OM|=5.因为|z1+z2|=|z1-z2|,故OM1OM2,故OM1M2是直角三角形,所以|z1|2+|z2|2=|OM1|2+|OM2|2=|M1M2|2=4|OM|2=425=100,故选C.答案C4.设复数z1=a+2i(aR),z2=-2+i,且|z1|z2|,则实数a的取值范围是()A.(-,-1)(1,+)B.(-1,1)C.(1,+)D.(0,+)解析因为|z
3、1|=a2+4,|z2|=4+1=5,所以a2+45,即a2+45,所以a21,即-1a0,复数z=(a2+1)+ai在复平面内对应的点为(a2+1,a),所以复数z在复平面内对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上.(2)设z=x+yi(x,yR),则x=a2+1,y=a,消去a可得x=y2+1,所以复数z在复平面内对应的点的轨迹方程为y2=x-1.9.已知i是虚数单位,复数z=(a2-4)+(a+2)i,aR.(1)若z为纯虚数,求实数a的值;(2)若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上,求|z|.解(1)若z为纯虚数,则a2-4=0,且a+20,解得a=2.(2)z在复平面上对应的
4、点为(a2-4,a+2),由条件点(a2-4,a+2)在直线x+2y+1=0上,则a2-4+2(a+2)+1=0,解得a=-1,则z=-3+i.所以|z|=(-3)2+1=10.能力提升1.复数z与它的模相等的充要条件是()A.z为纯虚数B.z为实数C.z为正实数D.z为非负实数解析设z=x+yi(x,yR),依题意有x2+y2=x+yi,因此必有y=0,x2+y2=x,即y=0,x2=x,所以y=0,x0,即z为非负实数.答案D2.设z=i3+1(i是虚数单位),则在复平面上,复数z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析z=i3+1=1-i,对应点的坐标为(1,
5、-1),位于第四象限.故选D.答案D3.复数z=cos 40-icos 50的模等于.解析|z|=cos240+(-cos50)2=cos240+sin240=1.答案14.设z1=1+i,z2=-1+i,O为原点,复数z1和z2在复平面内对应的点分别为A,B,则AOB的面积为.解析由已知可得A(1,1),B(-1,1),O为原点,AOB中,AB与x轴平行,|AB|=2,SAOB=1221=1.答案15.已知O为坐标原点,OZ1对应的复数为-3+4i,OZ2对应的复数为2a+i(aR).若OZ1与OZ2共线,求a的值.解因为OZ1对应的复数为-3+4i,OZ2对应的复数为2a+i,所以OZ1=(-3,4),OZ2=(2a,1).因为OZ1与OZ2共线,所以存在实数k使OZ2=kOZ1,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以2a=-3k,1=4k,所以k=14,a=-38.即a的值为-38.6.设z=log2(1+m)+ilog12(3-m)(mR).(1)若z在复平面内对应的点在第三象限,求m的取值范围;(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y-1=0上,求m的值.解(1)由题意,得log2(1+m)0,log12(3-m)0,解得-1m0,3-m0,故m=12.