1、第九章解析几何第一节直线与方程本节主要包括3个知识点：1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；2直线的方程；3.直线的交点、距离与对称问题.突破点(一)直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，)2斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为，则斜率ktan_.(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3两条直线平行与垂
2、直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 直线的倾斜角与斜率1直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率kktan 0k0ktan 0不存在倾斜角锐角0钝角902.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数ktan 的单调性，如图所示：当取值在内，由0增大到时，k由
3、0增大并趋向于正无穷大；当取值在内，由增大到()时，k由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想例1(1)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A0，)B.C. D.(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1,1)和Q(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_解析(1)因为直线xsin y20的斜率ksin ，又1sin 1，所以1k1.设直线xsin y20的倾斜角为，所以1tan 1，而0，)，故倾斜角的取值范围是.(2)如图所示，直线l：xmym0过定点A(0，1)，当m0时，kQA，kPA2，kl.2或.解得0m或m0，b0)，因为直
4、线l经过点P(4,1)，所以1.(1)12 ，所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立，所以当a8，b2时，SAOBab最小，此时直线l的方程为1，即x4y80.(2)因为1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)552 9，当且仅当a6，b3时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为x2y60.方法技巧1给定条件求直线方程的思路(1)考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况(2)在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程(3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性2与直线有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y表示x
5、或用x表示y.(2)将问题转化成关于x(或y)的函数(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：选D直线的斜率为ktan 1351，所以直线方程为yx1，即xy10.2.已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x2y20的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A4x3y30 B3x4y30C3x4y40 D4x3y40解析：选D由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为，2，因为直线l0：x2y20的斜率为，则tan ，所以直线l的斜率ktan 2，所以由点斜式
6、可得直线l的方程为y0(x1)，即4x3y40.3.若直线axbyab(a0，b0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A1 B2 C4 D8解析：选C直线axbyab(a0，b0)过点(1,1)，abab，即1，ab(ab)222 4，当且仅当ab2时上式等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.4.若ab0，且A(a,0)，B(0，b)，C(2，2)三点共线，则ab的最小值为_解析：根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为1，又C(2，2)在该直线上，故1，所以2(ab)ab.又ab0，故a0，b0.根据基本不等式ab2(ab)4，从而0(舍去)或4
7、，故ab16，当且仅当ab4时取等号即ab的最小值为16.答案：165.ABC的三个顶点分别为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点，由两点式得BC的方程为，即x2y40.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x0，y2.BC边的中线AD过点A(3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线的方程为1，即2x3y60.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1，则BC的垂直平分线DE的斜率k22.由(2)知，点D的坐标为
8、(0,2)由点斜式得直线DE的方程为y22(x0)，即2xy20.突破点(三)直线的交点、距离与对称问题基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1两条直线的交点2三种距离类型条件距离公式两点间的距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d两平行直线间的距离两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 直线的交点问题例1(1)当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)已知直线l经过点P(3,1)，且被
9、两条平行直线l1：xy10和l2：xy60截得的线段长为5，则直线l的方程为_解析(1)由得又0k，x0，故直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在第二象限(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x3，此时与l1，l2的交点分别为A(3，4)，B(3，9)，截得的线段AB的长|AB|49|5，符合题意若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为yk(x3)1.解方程组得A，解方程组得B.由|AB|5，得2252.解得k0，即所求的直线方程为y1.综上可知，所求直线l的方程为x3或y1.答案(1)B(2)x3或y1方法技巧1两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的
10、方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标2求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程距离问题例2(1)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B.C. D.(2)已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为_解析(1)因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间
11、的距离，即，所以|PQ|的最小值为.(2)设点P的坐标为(a，b)A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)而AB的斜率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点P(a，b)在直线xy50上，ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，由联立可得或所求点P的坐标为(1，4)或.答案(1)C(2)(1，4)或易错提醒(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x，y的系数化为相等对称问题1中心对称问题的两种类型及求解方法(1)点关于点
12、对称：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的两种类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)(2)直线关于直线的对称：若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解若
13、直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解例3(1)点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M为()A(1,6)B(6,1)C(1，6) D(1,6)(2)直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是()Ax2y30 Bx2y30Cx2y10 Dx2y10(3)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_解析(1)设M(x，y)，则x1，y6，M(1,6)(2)设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30
14、上，2(y2)(x2)30，即x2y30.(3)设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.答案(1)D(2)A(3)6xy60方法技巧解决两类对称问题的关键点解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.(2016东
15、城期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a1，a1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：选A因为直线AB的斜率为1，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为yxb，由题意知直线l过点，所以b，解得b1，所以直线l的方程为yx1，即xy10.选A.2.若直线l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30之间的距离是，则mn()A0 B1 C1 D2解析：选A直线l1：x2ym0(m0)与直线l2：xny30之间的距离为，n2，m2(负值舍去)mn0.3.已知定点A(1,0)，点B在直线xy0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是()A
16、. B.C. D.解析：选A因为定点A(1,0)，点B在直线xy0上运动，所以当线段AB最短时，直线AB和直线xy0垂直，设直线AB的方程为xym0，将A点代入，解得m1，所以直线AB的方程为xy10，它与xy0联立解得x，y，所以B的坐标是.4.若m0，n0，点(m，n)关于直线xy10的对称点在直线xy20上，那么的最小值等于_解析：由题意知(m，n)关于直线xy10的对称点为(1n,1m)则1n(1m)20，即mn2.于是(mn)(522)，当且仅当m，n时等号成立答案：5.经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_解析：由方程组
17、得即P(0,2)ll3，直线l3的斜率为，直线l的斜率k1，直线l的方程为y2x，即4x3y60.答案：4x3y606.已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得
18、直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，因为kOP，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2016全国甲卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A B C. D2解析：选A因为圆x2y22x8y130的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线axy10
19、的距离d1，解得a.2(2013新课标全国卷)已知点A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A(0,1) B.C. D. 解析：选B法一：(1)当直线yaxb与AB，BC相交时，如图所示易求得：xM，yN.由已知条件得：1，a.点M在线段OA上，10，0ba.点N在线段BC上，01，b1.由解得b.(2)当直线yaxb与AC，BC相交时，如图所示设MCm，NCn，则SMCNmn，mn1.显然，0n.又0m且mn.m且m1.设D到AC，BC的距离为t，则，1.t，m.而f(m)m的值域为，即2，t.b1CD1t，1b.综合
20、(1)、(2)可得：1bkA1F，即kFD(4，)答案：(4，)三、解答题11正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解：点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.12已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满
21、足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解：(1)由已知可得l2的斜率存在，k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，b0.又l1过点(3，1)，3a40，即a(矛盾)，此种情况不存在，k20，即k1，k2都存在k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.又l1过点(3，1)，3ab40.由联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.联立，解得或a2，b2或a，b2.
