1、第二章 导数及其应用 数列 A卷 基础夯实-2021-2022学年高二数学北师大版（2019）选择性必修二单元测试AB卷【满分：100分】一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则( )A.1B.2C.4D.82.已知函数在点处的切线的倾斜角是，则的值为( )A.B.C.D.13.一个物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为，则该物体在4秒末的瞬时速度是( )A.2米/秒B.3米/秒C.4米/秒D.5米/秒4.曲线在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.B.C.D.5.关于函数的极值，下列说法正确的是（ ）A.导数
2、为零的点一定是函数的极值点B.函数的极小值一定小于它的极大值C.一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值D.若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数6.已知函数(e为自然对数的底数)，若在区间上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为( )A.B.C.D.7.已知函数，在处的切线方程为( )A.B.C.D.8.经过点作曲线的切线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条9.若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.10.下列导数运算正确的是( )A.B.C.D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数的极小值为a，则a的值
3、为_.12.已知曲线在处的切线方程为，则_.13.函数的极小值是 .14.已知函数，曲线在点处的切线方程是_.15.若函数的图象在点处切线的斜率为，则_.三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （10分）设函数的导函数为，若函数的图象关于直线对称，且.（1）求实数a，b的值；（2）求函数的极值.17. （15分）求下列函数的极值：（1）；（2）.答案以及解析1.答案：A解析：由题意，所以，所以.故选：A.2.答案：A解析：由题意知.3.答案：A解析：因为，所以，因为当时，.所以该物体在4秒末的瞬时速度是2米/秒.4.答案：A解析：由题意得，则，所以曲
4、线在处的切线的斜率，且切点坐标为，所以曲线在处的切线方程为，令，则；令，则，则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，故选A.5.答案：D解析：对于A选项，取，则，当时，故不是函数的极值点，故A不正确；极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间一般来说没有大小关系，故B不正确；一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值，故C不正确；若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数，D正确.故选：D.6.答案：C解析：因为，记，则.当时，所以函数在上单调递减.又，所以当时，单调递增；当时，单调递减.当时，有极大值也是最大值，.若在上有两解，应有，所以，此时，所以在上有两解成立，故选C
5、.7.答案：A解析：由题可知，所以函数在处的切线斜率，所以切线方程为，即，故选A.8.答案：C解析：因为，所以曲线在点处的切线方程为.将代入，得.因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不问的根，即经过点作曲线的切线有3条.9.答案：D解析：，因为有两个极值点，所以函数在上有两个不相等的零点，由解得.10.答案：C解析：，故A错误；，故B错误；令，因为，所以，故C正确；，故D错误.11.答案：e解析：由题，若，则当时，单调递增，此时不存在极值，不符合题意，所以，易知在上单调递增，且当时，当时，所以存在唯一的，使得.当时，单调递减；当时，单调递增.所以的极小值，因为，所以，即，
6、设，因为，所以在上单调递减，又1，所以，从而.12.答案：e解析：，由，得.则，把代入切线方程，得，故答案为：e.13.答案：-856解析：，令，解得：或，令，解得：，故函数在递增，在递减，在递增，故函数的极小值是，故答案为：-856.14.答案：解析：由，得，又，曲线在点处的切线方程是，即故答案为： 15.答案：解析： ，,函数的图象在点处切线的斜率为-1，,解得：，.故答案为：16.答案：（1）因为，所以，从而，即的图象关于直线对称，则，即.又，即，所以.（2）由（1），知，.令，解得或.当时，即在上单调递增；当时，即在上单调递减；当时，即在上单调递增.从而函数在处取得极大值，为，在处取得极小值，为.解析：17.答案：（1）.令，解得，.当x变化时，的变化情况如下表：x-22-0+0-单调递减-10单调递增22单调递减由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为.（2）.令，解得，.当x变化时，的变化情况如下表：x-11-0+0-单调递减-3单调递增-1单调递减由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为.