1、第一节 椭圆的方程及性质 复习目标 学法指导 1.椭圆及其标准方程.(1)椭圆的定义.(2)椭圆的标准方程.(3)椭圆的焦点、焦距的概念.2.椭圆的简单几何性质.(1)椭圆的简单几何性质.(2)有关椭圆的计算证明.3.掌握利用曲线的方程研究曲线几何性质的基本方法.1.注重掌握椭圆的形成过程,注重掌握其形成过程中椭圆上的点所满足的几何条件.2.利用曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何的基本问题之一.一、椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.1.概念理解(
2、1)|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=2c动点 M 轨迹为椭圆(2)|MF1|+|MF2|=2a=|F1F2|=2c动点 M 轨迹为线段(3)|MF1|+|MF2|=2ab0)上一点 P(x0,y0)(y00)和焦点 F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的三角形 PF1F2称为焦点三角形.焦点三角形 PF1F2的周长|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c.焦点三角形 PF1F2的面积 S=12|PF1|PF2|sin(其中=F1PF2).|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2.二、椭圆的标准方程及其简单几何性质 焦点在 x 轴上 焦
3、点在 y 轴上 标准 方程 22xa+22yb=1(ab0)22ya+22xb=1(ab0)图形 范围|x|a;|y|b|x|b;|y|a 对称性 曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称 曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称 顶点 长轴顶点(a,0)短轴顶点(0,b)长轴顶点(0,a)短轴顶点(b,0)轴 长轴长 2a,短轴长 2b 焦点(c,0)(0,c)焦距|F1F2|=2c 离心率 e=ca(0,1)a,b,c 的关系 c2=a2-b2 1.概念理解(1)给出椭圆的标准方程,可根据 x2,y2项分母的大小确定 a2和 b2的值及焦点的位置,平方项中分母大的为 a2,并且焦点所在的坐标轴名称与该
4、项变量相同,即焦点在长轴上,如23x+24y=1 中,y2 项的分母大,所以a2=4,b2=3,且焦点在 y 轴上.(2)椭圆中 a2,b2与 c2的关系 b2=a2-c2是椭圆固有的性质,不会因椭圆的位置变化而变化.(3)椭圆的离心率 e 反映椭圆的扁平程度,e(0,1),e=ca=21ba ,变形为 ba=21 e,a,b,c,e 这四个量之间的关系要记准,解题中经常用到.(4)焦点在 y 轴上的方程及所有性质,都是焦点在 x 轴上的内容中的 x,y互换得到的.2.与椭圆的方程及几何性质相关的结论(1)点 M(x0,y0)与22xa+22yb=1 的关系:点 M 在椭圆上:202xa+20
5、2yb=1,点 M 在椭圆内:202xa+202yb 1.(2)共焦点的椭圆方程的设法:22xak+22ybk=1,其中 a2b2k.(3)共离心率的椭圆方程的设法:22xa+22yb=k,其中 k0.1.椭圆210 xm+22ym =1 的焦距为 4,则 m 等于(C)(A)4(B)8(C)4 或 8(D)12 解析:当焦点在 x 轴上时,10-mm-20,10-m-(m-2)=4,所以 m=4.当焦点在 y 轴上时,m-210-m0,m-2-(10-m)=4,所以 m=8.所以 m=4 或 8.故选 C.2.已知方程25xm+23ym =1 表示椭圆,则 m 的取值范围为(D)(A)(-3
6、,5)(B)(-3,1)(C)(1,5)(D)(-3,1)(1,5)解析:方程表示椭圆的条件为50,30,53,mmmm 解得 m(-3,1)(1,5).故选 D.3.椭圆29x+24yk=1 的离心率为 45,则 k 的值为(C)(A)-21(B)21(C)-1925 或 21(D)1925 或 21 解析:若 a2=9,b2=4+k,则 c=5k,由 ca=45,即53k=45,得 k=-1925;若 a2=4+k,b2=9,则 c=5k ,由 ca=45,即54kk=45,解得 k=21.故选 C.4.椭圆225x+29y=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,直线 l 过(0,5)与椭圆
7、交于A,B,则ABF2周长的最大值为 .解析:ABF2周长=|AB|+|AF2|+|BF2|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=20.答案:20 5.椭圆24x+29y=1 的左、右顶点分别为 A,B,P 是椭圆上异于 A,B 的一点,设 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,则 k1k2=.解析:设 P(x,y),则 k1k2=2yx 2yx =224yx =2249yy=-94.答案:-94 考点一 椭圆的定义及应用【例 1】(1)已知动圆 M 过定点 A(-3,0)并且与定圆 B:(x-3)2+y2=64 相切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为()(A)216x+27y=1(
8、B)27x+216y=1(C)216x-27y=1(D)27x-216y=1(2)以 A(-1,0),B(1,0)为焦点,经过 x-y+3=0 上一点的椭圆中,长轴最短的椭圆方程为 .解析:(1)因为点 A 在圆 B 内,所以过点 A 的圆与圆 B 只能内切,因为 B(3,0),所以|AB|=6.所以|BM|=8-|MA|,即|MB|+|MA|=8|AB|,所以动点 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,设其方程为22xa+22yb=1,得 a=4,c=3,b2=7,所以方程为216x+27y=1.故选 A.(2)A(-1,0)关于直线 x-y+3=0 的对称点为 A(-3,2),2a=|PA
9、|+|PB|=|PA|+|PB|AB|=25,所以长轴最短为 25,此时椭圆方程为25x+24y=1.答案:(1)A(2)25x+24y=1 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程,二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长和椭圆的离心率等.考点二 求椭圆的标准方程【例 2】(1)求过点(3,-5),且与椭圆225y+29x=1 有相同焦点的椭圆的标准方程.(2)椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率 e=32,且过点(2,1),求椭圆方程.解:(1)法一 椭圆225y+29x=1 的焦点为(0,-4),(0,4),即 c=4.由椭圆的定义知,2a=223054+22305
10、4,解得 a=25.由 c2=a2-b2可得 b2=4.所以所求椭圆的标准方程为220y+24x=1.法二 设所求椭圆方程为225yk+29xk=1(k9),将点(3,-5)的坐标代入可得 2525k+239k=1,解得 k=5(k=21 舍去),所以所求椭圆的标准方程为220y+24x=1.(2)因为 e=32,所以 a=2b.当焦点在x轴上时,设椭圆方程为24x+21y=b2,(2,1)代入得b2=2,此时标准方程为28x+22y=1.当焦点在 y 轴上时,设椭圆方程为24y+21x=b2,(2,1)代入得 b2=174,此时标准方程为217y+2417x=1.(1)求椭圆标准方程,常用待
11、定系数法,解题时常依据条件确定焦点所在坐标轴,设出椭圆标准方程,建立关于 a,b 的等量关系式,因椭圆标准方程中有两个未知量,所以需建立两个等量关系式进行求解,这一过程概括为“先定式,后定量”.(2)对于共焦点的椭圆方程问题,既可以利用定义法根据已知的焦距求解,也可以利用待定系数法把与椭圆22xm+22yn=1(m2n2)共焦点的椭圆设为22xmk+22ynk=1(km2,kb0)有相同的离心率,则可设为22xa+22yb=k1(k10,焦点在 x 轴上)或22ya+22xb=k2(k20,焦点在 y 轴上).(4)把题目中关于直线、曲线的相互位置关系、等量关系转化为关于a,b,c,e 的等量
12、关系,结合 b2=a2-c2,e=ca 这些等量关系,求得 a,b 的值,是求椭圆方程的一般思路.1.(2018嘉兴模拟)如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O,F(-25,0)为 C的左焦点,P 为 C 上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆 C 的方程为(B)(A)225x+25y =1(B)236x+216y=1(C)230 x+210y=1(D)245x+225y=1 解析:设椭圆的标准方程为22xa+22yb=1(ab0),焦距为 2c,右焦点为 F,连接 PF,如图所示.因为 F(-25,0)为 C 的左焦点,所以 c=25.由|OP|=|OF|=|OF|知,FPF=
13、90,即 FPPF.在 RtPFF中,由勾股定理,得|PF|=22|FFPF=224 54=8.由椭圆定义,得|PF|+|PF|=2a=4+8=12,所以 a=6,a2=36,于是 b2=a2-c2=36-(25)2=16,所以椭圆 C 的方程为236y+216y=1.故选 B.2.经 过 点P1(1,2 103),P2(-32,-152)的 椭 圆 的 标 准 方 程为 .解析:设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m0,n0,mn),则401,99151,44mnmn 得1,91,5mn 故椭圆方程为29x+25y=1.答案:29x+25y=1 考点三 椭圆的几何性质及应用【例 3】(1)(
14、2016嘉兴模拟)已知 F1,F2分别是椭圆22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点,点 A 是椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若椭圆上的一点 M满足 MF1MF2,|MA|=|MO|,则椭圆的离心率为()(A)105 (B)23 (C)22 (D)2 77 (2)(2018全国卷)已知 F1,F2是椭圆 C:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为36 的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则 C 的离心率为()(A)23 (B)12 (C)13 (D)14 解析:(1)不妨设 M 在第一象限,由|MA|=|MO|得 M
15、(2a,32b 0,1FM 2F M=24a-c2+234b=a2-274c=0,得 e=2 77.故选 D.(2)由题意可得椭圆的焦点在 x 轴上,如图所示,设|F1F2|=2c,因为PF1F2为等腰三角形,且F1F2P=120,所以|PF2|=|F1F2|=2c,因为|OF2|=c,所以点 P 坐标为(c+2ccos 60,2csin 60),即点 P(2c,3 c),因为点 P 在过点 A,且斜率为36 的直线上,所以32cca=36,解得 ca=14,所以 e=14,故选 D.(1)与几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴
16、等椭圆的基本量之间的关系,深挖出它们之间的联系,求解自然就不难了.(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方程:求出 a,c,代入公式 e=ca;只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,结合 b2=a2-c2转化为关于 a,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于e 或 e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围).如图所示,已知 F1,F2是椭圆 C:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2与圆 x2+y2=b2相 切 于 点 Q,且 点 Q 为
17、线 段 PF2 的 中 点,则 椭 圆 C 的 离 心 率为 .解析:连接 OQ,PF1(图略),则|OQ|=b,|PF1|=2b,|PF2|=2|QF2|=222cb,由|PF1|+|PF2|=2a,可知 2b+222cb=2a,化简可得 1-22e1=2e1,解得 e=53.答案:53 考点四 易错辨析【例 4】(1)设 e 是椭圆24x+2yk=1 的离心率,且 e(12,1),则实数 k 的取值范围是()(A)(0,3)(B)(3,163)(C)(0,3)(163,+)(D)(0,2)(2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 4 53 和 2 53,过
18、 P 作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程.(1)解析:当 4k0 时,e=ca=42k(12,1),即 12 42k 114-k4,即 0k3;当 4k 时,e=ca=4kk(12,1),即 14 4kk 1 14 1-4k 4k 0k 163.故选 C.(2)解:法一 设椭圆的标准方程是22xa+22yb=1(ab0)或22ya+22xb=1(ab0),两个焦点分别为 F1,F2.由题意知 2a=|PF1|+|PF2|=25,所以 a=5.在方程22xa+22yb=1(ab0)中,令 x=c,得|y|=2ba.在方程22ya+22xb=1(ab0)中,令 y=c,得|x|=2
19、ba.依题意得2ba=2 53,b2=103.即椭圆的方程为25x+2310y=1 或25y+2310 x=1.法二 设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,且|PF1|=4 53,|PF2|=2 53,则由椭圆的定义知 2a=|PF1|+|PF2|=25,所以 a=5.由|PF1|PF2|知,PF2垂直于长轴.故在 RtPF2F1中,4c2=|PF1|2-|PF2|2=203,所以 c2=53,b2=a2-c2=103,故椭圆的方程为25x+2310y=1 或25y+2310 x=1.涉及含参数的椭圆标准方程,需要考虑x2,y2项的分母的大小,以确定焦点所在坐标轴,常见错误是只考虑一种情况忽略另
20、一种情况.温馨提醒:(1)涉及椭圆标准方程问题,需考虑“定式”与“定量”两个方面.定式即确定焦点所在的坐标轴,它决定 x2 与 y2 项分母的大小,定量是利用已知条件求 a2,b2的值.(2)牢记“先定式,后定量”这一处理问题的顺序.1.在平面直角坐标系 xOy 中,P 是椭圆24y+23x=1 上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大 值为(D)(A)2(B)3(C)4(D)5 解析:因为椭圆方程为24y+23x=1,所以焦点坐标为 B(0,-1)和 B(0,1),连接 PB,AB,根据椭圆的定义,得|PB|+|PB|=2a=4,可得|PB|=4-|PB|,因
21、此|PA|+|PB|=|PA|+(4-|PB|)=4+(|PA|-|PB|).因为|PA|-|PB|AB|,所以|PA|+|PB|4+|AB|=4+1=5.当且仅当点 P 在 AB延长线上时,等号成立.综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为 5.2.长轴长为 6,焦距为 4 的椭圆的标准方程为 .解析:因为 2a=6,2c=4,所以 a=3,c=2.b2=a2-c2=9-4=5,所以椭圆的标准方程为29x+25y=1 或25x+29y=1.答案:29x+25y=1 或25x+29y=1 类型一 椭圆的定义及应用 1.若椭圆 C:29x+22y=1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C
22、上,且|PF1|=4,则F1PF2等于(C)(A)30(B)60(C)120(D)150 解析:由题意知 a=3,c=7,所以|PF2|=2,在F2PF1中,由余弦定理可得 cosF1PF2=222422 72 4 2=-12,又因为F1PF2(0,180),所以F1PF2=120.故选 C.2.设 F1,F2 是椭圆249x+224y=1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1|PF2|=43,则PF1F2的面积为(C)(A)30(B)25(C)24(D)40 解析:因为|PF1|+|PF2|=14,|PF1|PF2|=43,所以|PF1|=8,|PF2|=6,又因为|F1F2|=10,所
23、以 PF1PF2;1 2PF FS=12|PF1|PF2|=12 86=24.故选 C.3.(2018丽水模拟)已知 F 是椭圆 5x2+9y2=45 的左焦点,P 是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为 ,最小值为 .解析:椭圆方程化为29x+25y=1,设 F1是椭圆的右焦点,则 F1(2,0),所以|AF1|=2,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6,又-|AF1|PA|-|PF1|AF1|(当 P,A,F1共线时等号成立),所以|PA|+|PF|6+2,|PA|+|PF|6-2.答案:6+2 6-2 4.椭圆22xa+22yb=1(ab0)左
24、、右焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆上一点,过 F2作 F1PF2 外 角 平 分 线 的 垂 线,垂 足 为 M,则 M 的 轨 迹 方 程为 .解析:延长 F2M 交 F1P 延长线于 Q,则|PQ|=|PF2|,所以 M 为 F2Q 的中点.所以|OM|=12|F1Q|=a,所以 M 的轨迹方程为 x2+y2=a2.答案:x2+y2=a2 类型二 求椭圆的标准方程 5.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且|AB|=3,则 C 的方程为(C)(A)22x+y2=1(B)23x+22y=1(C)24x+
25、23y=1(D)25x+24y=1 解析:设椭圆的方程为22xa+22yb=1(ab0),由题意知2ba=32,又 c2=a2-b2=1,解得 a=2 或 a=-12(舍去),b2=3,故椭圆的方程为24x+23y=1.故选 C.6.若椭圆22xa+22yb=1(a0,b0)的焦点在 x 轴上,过点(2,1)作圆 x2+y2=4 的切线,切点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为.解析:设一个切点坐标为(m,n),则12nm nm=-1,即 m2+n2-n-2m=0.因为 m2+n2=4,所以 2m+n-4=0,即直线 AB 的方程为 2x+y-4=0.因为直线
26、 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,所以 2c-4=0,b-4=0,解得 c=2,b=4,所以 a2=b2+c2=20,所以椭圆方程为220 x+216y=1.答案:220 x+216y=1 7.椭圆22xa+22yb=1(ab0)上两点 A,B 关于原点对称,椭圆上另有一点P(x0,y0),若 PA,PB 的斜率 k1,k2都存在,则 k1k2=.解析:设 A(x1,y1),则 B(-x1,-y1),k1k2=22012201yyxx=2220122201bxxaxx=-22ba.答案:-22ba 类型三 椭圆的几何性质 8.已知椭圆22xa+22yb=1(ab0)的左、右两焦点分别为 F
27、1,F2,点 A 在椭圆上,1AF 12F F=0,F1AF2=45,则椭圆的离心率 e 等于(B)(A)33 (B)2-1(C)3-1(D)512 解析:由1AF 12F F=0 得 AF1F1F2,又F1AF2=45,所以|AF1|=|F1F2|,即2ba=2c,整理得 c2+2ac-a2=0,所以 e2+2e-1=0,e=2-1.故选 B.9.椭圆216x+24y=1 上有两点 P,Q,O 为坐标原点,若 OP,OQ 斜率之积为-14,则|OP|2+|OQ|2等于(C)(A)4(B)64(C)20(D)不确定 解析:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),所以1212y yx x=-14
28、,即22122212y yx x=116,(*)因为椭圆方程为216x+24y=1,所以21y=4-214x,22y=4-224x,代入(*)式整理可得21x+22x=16,所以|OP|2+|OQ|2=21x+22x+21y+22y=20.故选 C.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆22xa+22yb=1(ab0)的右焦点,直线 y=2b 与椭圆交于 B,C 两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.解析:将 y=2b 代入椭圆的标准方程,得22xa+224bb=1,所以 x=32 a,故 B(-32 a,2b),C(32 a,2b).又因为 F(c,0),所以 BF=(c+32 a,-2b),CF=(c-32 a,-2b).因为BFC=90,所以 BF CF=0,所以(c+32 a)(c-32 a)+(-2b)2=0,即 c2-34 a2+14 b2=0,将 b2=a2-c2代入并化简,得 a2=32 c2,所以 e2=22ca=23,所以 e=63(负值舍去).答案:63