1、本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)=x2在区间-1,2上的平均变化率为()A.-1B.1C.2D.32.下列求导运算正确的是()A.x+1x=1+1x2B.(log2x)=1xln2C.(5x)=5xlog5xD.(x2cos x)=-2xsin x3.一质点做直线运动,若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=13t3+1,设其在时间段1,2内的平均速度为v1,在t=2时的瞬时速度为v2,则v1v2=()A.13B.712C.56D.234.函数f(x)=ln
2、 x-x的极大值点为()A.1B.-1C.eD.1-e5.已知函数f(x)=x2-2cos x,则f(0), f-13, f23的大小关系是()A. f(0)f-13f23B. f-13f(0)f23C. f23f-13f(0)D. f(0)f233时,不等式f(-k-sin -1)f(k2-sin2)对任意的k-1,0恒成立,则的可能取值是()A.-3B.43C.-2D.56二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列结论中正确的有()A.若y=sin 3,则y=0B.若f(x
3、)=3x2-f(1)x,则f(1)=3C.若y=-x+x,则y=-12x+1D.若y=sin x+cos x,则y=cos x+sin x10.定义在区间-12,4上的函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.函数f(x)在区间(0,4)上单调递增B.函数f(x)在区间-12,0上单调递减C.函数f(x)在x=1处取得极大值D.函数f(x)在x=0处取得极小值11.若实数m的取值使函数f(x)在定义域上有两个极值点,则称函数f(x)具有“凹凸趋向性”.已知f(x)是函数f(x)的导数,且f(x)=mx-2ln x,当函数f(x)具有“凹凸趋向性”时,m的取值范围的子
4、集有()A.-2e,+B.-2e,0C.-,-2eD.-2e,-1e12.已知定义在0,2上的函数f(x)的导函数为f(x),且f(0)=0, f(x)cos x+f(x)sin x0,则下列判断正确的是()A. f60C. f63f3D. f42f3三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知f(x0)=m,则limx0f(x0-3x)-f(x0)x=.14.设函数f(x)=x+cos x,x(0,1),则满足不等式f(t2)f(2t-1)的实数t的取值范围是.15.若f(x)=x3-3x+m,当m=0时,f(x)的极大值为;关于x的方程f(x)=0在0
5、,2上有根,则实数m的取值范围是.(第一个空2分,第二个空3分) 16.已知函数f(x)=1+lnx,x1,x+12,x0).(1)若a=1,求f(x)的极值;(2)若存在x01,e,使得f(x0)+1+ax00)有两个实数根x1,x2,求证:|x1-x2|0),所以f(x)=1x-1=1-xx,当x1时,f(x)0,函数f(x)单调递减;当0x0,函数f(x)单调递增,所以在x=1处取得极大值,即函数f(x)=lnx-x的极大值点为1,故选A.5.A易知f(x)=x2-2cosx为偶函数,f-13=f13,f(x)=2x+2sinx,当x(0,1)时,f(x)0,f(x)在(0,1)上为增函
6、数,f(0)f13f23,f(0)f-130时,f(x)=2x2-lnx,f(x)=4x-1x=(2x-1)(2x+1)x,当x=12时,f(x)取最小值,且f12=12-ln120,故排除C.故选A.7.D因为h(x)=mex+ex,所以h(x)=-mex+ex,又因为函数h(x)=mex+ex在区间0,1上不单调,所以h(x)=-mex+ex在区间(0,1)上存在变号零点,所以h(0)h(1)0,即(1-m)e-me0,解得1m3时,a33时,a31,所以f(x)在(-,1上为减函数.因为k-1,0,sin-1,1,所以-2-k-sin-11,-1k2-sin21,由不等式f(-k-sin
7、-1)f(k2-sin2)对任意的k-1,0恒成立,得sin2-sin-1k2+k=k+122-14对任意的k-1,0恒成立,所以sin2-sin-1-14恒成立,解得-12sin32,即-12sin1,结合选项知,的可能取值是56.故选D.易错警示利用单调性解决相关问题时,要注意单调区间的判定,当自变量都在同一个单调区间内才能利用相应的单调性,解题时防止漏证导致解题错误.二、多项选择题9.ABC选项A中,若y=sin3=32,则y=0,故A正确;选项B中,若f(x)=3x2-f(1)x,则f(x)=6x-f(1),令x=1,则f(1)=6-f(1),解得 f(1)=3,故B正确;选项C中,若
8、y=-x+x,则y=-12x+1,故C正确;选项D中,若y=sinx+cosx,则y=cosx-sinx,故D错误.故选ABC.10.ABD由y=f(x)的图象知,当-12x0时,f(x)0;当0x0,因此f(x)在-12,0上单调递减,在(0,4)上单调递增,故A、B正确;f(x)在x=1附近单调递增,在x=1处不取极大值,故C错误;由f(x)在-12,0上单调递减,在(0,4)上单调递增,得f(x)在x=0处取得极小值,故D正确.故选ABD.11.BDf(x)=mx-2lnx=m-2xlnxx(x0),若函数f(x)具有“凹凸趋向性”,则m=2xlnx在(0,+)上有2个不同的实数根,令g
9、(x)=2xlnx,则g(x)=2(1+lnx),令g(x)0,解得x1e;令g(x)0,解得0x1e,g(x)在0,1e上单调递减,在1e,+上单调递增,故g(x)的极小值是g1e=-2e,也是最小值,当x0时,g(x)0,故-2em0,故选BD.12.CD令g(x)=f(x)cosx,x0,2,则g(x)=f(x)cosx+f(x)sinxcos2x,因为f(x)cosx+f(x)sinx0,所以g(x)=f(x)cosx+f(x)sinxcos2xg4,即f6cos6f4cos4,即f662f4,故A错误;又f(0)=0,所以g(0)=f(0)cos0=0,所以g(x)=f(x)cosx
10、0在0,2上恒成立,因为ln30,2,所以fln3g3,所以f6cos6f3cos3,即f63f3,故C正确;又g4g3,所以f4cos4f3cos3,即f42f3,故D正确.故选CD.解题模板通过构造函数,利用函数的单调性比较大小.构造函数时,利用含导函数的不等式分析其结构,结合求导法则构造函数.平时要积累构造函数的方法.三、填空题13.答案-3m解析f(x0)=m,原式=-3limx0f(x0-3x)-f(x0)-3x=-3f(x0)=-3m.14.答案12,1解析因为f(x)=1-sinx0,所以f(x)为增函数,因为f(t2)f(2t-1),所以t22t-1,即t1,因为f(x)的定义
11、域为(0,1),所以0t21,02t-11,解得12t0,得x1或x-1;令f(x)0,得-1x0,函数g(x)单调递增;当x(1,2)时,g(x)0,函数g(x)单调递减,而g(0)=0,g(1)=2,g(2)=-2,所以g(x)的值域为-2,2,即实数m的取值范围是-2,2.16.答案3-2ln2,+)解析因为x1x2,所以不妨设x1x2.当x1时,f(x)=1+lnx1,当x1时,f(x)=x+121,根据f(x1)+f(x2)=2可知x111),则g(x2)=x2-2x2,于是易得g(x2)在(1,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以g(x2)g(2)=3-2ln2,又当x2+
12、时,g(x2)+,所以g(x2)的值域是3-2ln2,+).所以x1+x2的取值范围是3-2ln2,+).解后反思分段函数问题要根据自变量的取值范围选择函数解析式,找到x1、x2的关系,进而构造函数,利用导数解决函数的值域,从而得到取值范围.四、解答题17.解析选择,由题意得f(x)=ex+a,则f(0)=1+a=0,故a=-1,(2分)故f(x)=ex-x-1,f(x)=ex-1.令f(x)=ex-1=0,得x=0.(4分)当x(-1,0)时,f(x)0.所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)因为f(-1)=1e
13、f(1)=e-2,所以f(x)的最大值为f(1)=e-2.(10分)选择,由题意得f(x)=ex+a,所以f(1)=e+a,由曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线x+(e-1)y-1=0垂直,得f(1)=e-1,所以e+a=e-1,故a=-1,(2分)则f(x)=ex-x-1,f(x)=ex-1.令f(x)=ex-1=0,得x=0.(4分)当x(-1,0)时,f(x)0.所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)因为f(-1)=1ef(1)=e-2,所以f(x)的最大值为f(1)=e-2.(10分)选择,由
14、题意得f(x)=ex+a.所以f(-x)-f(x)=e-x-ex-ax-1-a,(1分)因为y=f(-x)-f(x)为奇函数,所以f(-x)-f(x)=f(-x)-f(x),可得a=-1.(3分)则f(x)=ex-x-1,f(x)=ex-1,令f(x)=ex-1=0,得x=0.(4分)当x(-1,0)时,f(x)0.所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)因为f(-1)=1ef(1)=e-2,所以f(x)的最大值为f(1)=e-2.(10分)18.解析(1)由f(x)=(a-b)x2-x-xlnx,得f(x)=2(a
15、-b)x-lnx-2,(2分)由f(1)=a-b-1=a,f(1)=2(a-b)-2=0得a=0,b=-1.(4分)(2)由题意得f(x)=(1-b)x2-x-xlnx.(5分)f(x)0对任意x(0,+)恒成立等价于b1-1x-lnxx对任意x(0,+)恒成立,(6分)令g(x)=1-1x-lnxx,则g(x)=lnxx2.(8分)当x(0,1)时,g(x)0,所以g(x)在(1,+)上单调递增,(10分)所以g(x)min=g(1)=0,所以b(-,0.(12分)19.解析(1)f(x)=cosx+xsinx-1,f(x)=xcosx,(2分)当x0,2时,f(x)0;当x2,时,f(x)
16、0,f()=-20;当x(x0,)时,g(x)0,所以g(x)在区间(0,x0)上单调递增,在区间(x0,)上单调递减,又g(0)=0,g()=0,所以当x0,时,g(x)0,(11分)故2sinx-xcosxx.(12分)20.解析(1)OAM=,PMAB,M为AB的中点,OA=OB=10cos,OM=10tan,OP=10-10tan,(2分)y=10cos1+10cos2+(10-10tan)1.5=30cos-15tan+15=152cos-tan+1504.(5分)(2)设f()=2cos-tan=2-sincos04,则f()=-cos2+sin(2-sin)cos2=2sin-1
17、cos2.(7分)令f()=0,得sin=12,又04,=6.(8分)当06时,sin12,f()0,f()单调递减;(9分)当612,f()0,f()单调递增.(10分)f()的最小值为f6=3,此时总造价最小.(11分)当=6时,总造价最小,最小值为(153+15)百万元.(12分)21.解析(1)a=1时,f(x)=x-lnx,函数f(x)的定义域是(0,+),(1分)f(x)=1-1x=x-1x,(2分)令f(x)0,解得x1,令f(x)0,解得0x1,(3分)故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,故f(x)的极小值是f(1)=1,无极大值.(5分)(2)存在x01
18、,e,使得f(x0)+1+ax00成立,等价于f(x0)+1+ax0min0(x01,e)成立,(6分)设h(x)=x-alnx+1+ax,则h(x)=(x+1)(x-1-a)x2,令h(x)=0,解得x=-1(舍)或x=1+a.(8分)当1+ae时,h(x)在1,e上递减,h(x)的最小值为h(e)=e-a+1+ae,令h(x)min0,即e-a+1+aee2+1e-1;(10分)当1+ae时,h(x)在(1,1+a)上单调递减,在(1+a,e)上单调递增,ln(1+a)2,与h(x)mine2+1e-1.(12分)22.解析(1)由f(x)=1-x2ex=0,得x=1,函数f(x)的零点x
19、0=1.(2分)易得f(x)=x2-2x-1ex,f(-1)=2e,f(-1)=0,曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为y=2e(x+1).f(1)=-2e,f(1)=0,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-2e(x-1).(5分)(2)证明:由(1)知f(x)=x2-2x-1ex.令f(x)=0,得x=12.当x(-,1-2)(1+2,+)时,f(x)0;当x(1-2,1+2)时,f(x)0.f(x)的单调递增区间为(-,1-2),(1+2,+),单调递减区间为(1-2,1+2).由(1)知,当x1时,f(x)0;当-1x0.(7分)下面证明:当x(-1,1)时,2e(x+1)f
20、(x).当x(-1,1)时,2e(x+1)f(x)2e(x+1)+x2-1ex0ex+1+x-120.设g(x)=ex+1+x-12,易知g(x)在x(-1,1)上单调递增,g(x)g(-1)=0对任意x(-1,1)恒成立,当x(-1,1)时,2e(x+1)f(x).(9分)由y=2e(x+1),y=m得x=m2e-1.记x1=m2e-1.不妨设x1x2,则-1x11-2x21,|x1-x2|x1-x2|=x2-x1=x2-m2e-1.(10分)要证|x1-x2|2-m1+12e,只需证x2-m2e-12-m1+12e,即证x21-m.又m=1-x22ex2,只需证x21-1-x22ex2,即(x2-1)ex2-(x2+1)0.x2(1-2,1),x2-10,只需证ex2-(x2+1)0.令(x)=ex-(x+1),则(x)=ex-1.当x(1-2,0)时,(x)0,(x)为单调递增函数.(x)(0)=0,ex2-(x2+1)0,|x1-x2|2-m1+12e.(12分)