1、第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-2)2=2B.(x+1)2+(y+2)2=2C.(x-1)2+(y-2)2=5D.(x+1)2+(y+2)2=5解析由题意可知,所求圆的半径为r=12+22=5.圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是(x-1)2+(y-2)2=5.故选C.答案C2.圆x2+y2-2x+4y+4=0与直线2tx-y-2-2t=0(tR)的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能解析圆的方
2、程可化为(x-1)2+(y+2)2=1,直线过定点P(1,-2),因为定点P(1,-2)在圆内,所以直线和圆相交.答案C3.圆x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为()A.x+3y-2=0B.x+3y-4=0C.x-3y+4=0D.x-3y+2=0解析点P(1,3)在圆x2+y2-4x=0上,点P为切点.从而圆心与点P的连线应与切线垂直.又圆心为(2,0),设切线斜率为k,0-32-1k=-1,解得k=33.切线方程为x-3y+2=0.答案D4.一束光线自点P(1,1,1)发出,被xOy平面反射,到达点Q(3,3,6)被吸收,则光线自点P到点Q所走的距离是()A.33B.12C.5
3、7D.57解析点Q关于xOy平面的对称点为Q(3,3,-6),|PQ|=(3-1)2+(3-1)2+(-6-1)2=57.答案C5.过点P(5,6)作圆C:(x-1)2+(y-2)2=36的弦,其中最短的弦长为()A.2B.4C.42D.8解析过圆心内一点最短的弦垂直于过该点的直径,|PC|=(5-1)2+(6-2)2=42,此时l=2R2-PC2=236-32=4.答案B6.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心C在x轴上,则圆C的方程为()A.(x-2)2+y2=50B.(x+2)2+y2=10C.(x+2)2+y2=50D.(x-2)2+y2=10解析易得线段AB的垂直平分线为
4、2x-y-4=0.因为圆心在此垂直平分线上,令y=0,得x=2,圆心为(2,0),半径为(1-2)2+(3-0)2=10,圆C的方程为(x-2)2+y2=10.答案D7.方程(x2+y2-4)x+y+1=0的曲线形状是()解析由(x2+y2-4)x+y+1=0可得x2+y2-4=0,x+y+10或x+y+1=0,它表示直线x+y+1=0和圆x2+y2=4在直线x+y+1=0右上方的部分.答案C8.若圆C:x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:x-y+c=0的距离为22,则c的取值范围是()A.-22,22B.(-22,22)C.-2,2D.(-2,2)解析圆x2+y2-
5、4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=18,圆心坐标为(2,2),半径为32.要求圆上至少有三个不同的点到直线l:x-y+c=0的距离为22,则圆心到直线的距离|c|22,-2c2.故选C.答案C9.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差为()A.36B.18C.62D.52解析x2+y2-4x-4y-10=0(x-2)2+(y-2)2=18,圆心(2,2),半径为32.圆心到直线x+y-14=0的距离为|2+2-14|2=52,直线与圆相离.圆上的点到直线的最大距离与最小距离之差为圆的直径,即62.答案C10.若圆C1:x2+y
6、2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-11解析易知圆C1的圆心坐标为(0,0),半径r1=1.将圆C2化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=25-m(m25),得圆C2的圆心坐标为(3,4),半径r2=25-m(m25).由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2=1+25-m=5,解得m=9.故选C.答案C11.已知A、B为圆x2+(y-1)2=4上关于点P(1,2)对称的两点,则直线AB的方程为()A.x+y-3=0B.x-y+3=0C.x+3y-7=0D.3x-y-1=0解析记圆心为C(0,1),由题意CPAB,kCP=2-11-0=1
7、,kAB=-1,又直线AB过点P(1,2),直线AB的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0,故选A.答案A12.过点(2,0)引直线l与曲线y=1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于()A.33B.-33C.33D.-3解析曲线y=1-x2的图象如图所示:若直线l与曲线相交于A,B两点,则直线l的斜率k0),圆心(a,b)到直线x-y-1=0的距离d=|a-b-1|2=r.圆C过A(4,1),B(2,1),(4-a)2+(1-b)2=r2,(2-a)2+(1-b)2=r2.由,得a=3,b=0,r=2,圆的方程为(x-3)2+y2=2.答案(
8、x-3)2+y2=216.已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为22,则过圆心,且与直线l垂直的直线的方程为.解析设圆心(a,0)(a0),|a-1|22+(2)2=|a-1|2.a=3.圆心(3,0).所求直线方程为x+y-3=0.答案x+y-3=0三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知点A(0,2)是圆x2+y2=16内的定点,B,C是这个圆上的两个动点,若BACA,求BC中点M的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么曲线.解设点M(x,y).M是弦BC的中点,OMBC.又BAC
9、=90,|MA|=12|BC|=|MB|.|MB|2=|OB|2-|OM|2,|OB|2=|MO|2+|MA|2,即42=(x2+y2)+(x-0)2+(y-2)2,化简为x2+y2-2y-6=0,即x2+(y-1)2=7.所求轨迹为以(0,1)为圆心,以7为半径的圆.18.(本小题满分12分)已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.解设圆心为C(a,a-1),半径为r,则点C到直线l2的距离d1=|4a+3(a-1)+14|5=|7a+11|5.点C到直线l3的距离d
10、2=|3a+4(a-1)+10|5=|7a+6|5.由题意,得|7a+11|5=r,|7a+6|52+32=r2.解得a=2,r=5,即所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25.19.(本小题满分12分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l过定点A(1,0).(1)若l与圆C相切,求l的方程;(2)若l与圆C相交于P、Q两点,求CPQ的面积的最大值,并求此时直线l的方程.(其中点C是圆C的圆心)解(1)直线l斜率不存在时,直线l的方程为x=1,此时直线l和圆C相切,直线l斜率存在时,设方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,利用圆心到直线的距离等于半径得:d=|3k-4-
11、k|k2+1=2,解得k=34,直线方程为y=34x-34,故所求直线方程为x=1或3x-4y-3=0.(2)CPQ面积最大时,PCQ=90,S=1222=2,即CPQ是等腰直角三角形,由半径r=2得:圆心到直线的距离为2,设直线l的方程为:y=k(x-1),即kx-y-k=0,d=|2k-4|k2+1=2,解得k=7或1,所以所求的直线方程为y=7x-7或y=x-1.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知圆心C在直线x-2y=0上的圆C经过点A(4,0),但不经过坐标原点,并且直线4x-3y=0与圆C相交所得的弦长为4.(1)求圆C的一般方程;(2)若从点M(-4,1)发出的光线
12、经过x轴反射,反射光线刚好通过圆C的圆心,求反射光线所在的直线方程(用一般式表达).解(1)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为圆心C在直线x-2y=0上,所以有a-2b=0,又因为圆C经过点A(4,0),所以有(4-a)2+b2=r2,而圆心到直线4x-3y=0的距离为d=|4a-3b|42+(-3)2=|4a-3b|5,由弦长为4,所以弦心距d=r2-22,所以|4a-3b|5=r2-22,联立,解得a=2,b=1,r=5或a=6,b=3,r=13,又因为(x-2)2+(y-1)2=5通过坐标原点,所以a=2,b=1,r=5舍去.所以所求圆的方程为:(x-6)2+(y-3)
13、2=13,化为一般方程为:x2+y2-12x-6y+32=0.(2)点M(-4,1)关于x轴的对称点N的坐标为(-4,-1),反射光线所在的直线即为NC,又因为点C的坐标为(6,3),所以反射光线所在的直线方程为:y+1x+4=3+16+4,所以反射光线所在的直线方程的一般式为2x-5y+3=0.21.(本小题满分12分)已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3),(1)若点P(m,m+1)在圆C上,求直线PQ的斜率;(2)若点M是圆C上任意一点,求|MQ|的最大值、最小值;(3)若N(a,b)满足关系:a2+b2-4a-14b+45=0,求出t=b-3a+2的最大值.解圆
14、C:x2+y2-4x-14y+45=0可化为(x-2)2+(y-7)2=8.(1)因为点P(m,m+1)在圆C上,所以m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,解得m=4,故点P(4,5).所以直线PQ的斜率是kPQ=5-34+2=13.(2)如图,点M是圆C上任意一点,Q(-2,3)在圆外,所以|MQ|的最大值、最小值分别是|QC|+r,|QC|-r.易求|QC|=42,r=22,所以|MQ|max=62,|MQ|min=22.(3)易知点N在圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上,t=b-3a+2表示的是定点Q(-2,3)与圆上的动点N连线l的斜率.设l的方程为y-3=k(x
15、+2),即kx-y+2k+3=0.当直线l和圆C相切时,d=r,即|2k-7+2k+3|k2+1=22,解得k=23.所以t=b-3a+2的最大值为2+3.22.(本小题满分12分)已知点P(2,1)是圆O:x2+y2=8内一点,直线l:y=kx-4.(1)若圆O的弦AB恰好被点P(2,1)平分,求弦AB所在直线的方程;(2)若过点P(2,1)作圆O的两条互相垂直的弦EF,GH,求四边形EGFH的面积的最大值;(3)若k=12,Q是l上的动点,过Q作圆O的两条切线,切点分别为C,D.证明:直线CD过定点.解(1)由题意知ABOP,kABkOP=-1,kOP=12,kAB=-2,因此弦AB所在直
16、线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.(2)设点O到直线EF、GH的距离分别为d1,d2,则d12+d22=|OP|2=5,|EF|=2r2-d12=28-d12,|GH|=2r2-d22=28-d22.S四边形EGFH=12|EF|GH|=2(8-d12)(8-d22)=2(8-d12)(d12+3)=2-d14+5d12+24=2-(d12-52)2+121411,当d1=102=d2时取等号.所以四边形EGFH面积的最大值为11.(3)证明:由题意可知C、D两点均在以OQ为直径的圆上,设Qt,t2-4,则该圆的方程为x(x-t)+yy-12t+4=0,即:x2-tx+y2-12t-4y=0.又C、D在圆O:x2+y2=8上,所以直线CD的方程为tx+12t-4y-8=0,即tx+12y-4(y+2)=0,由x+12y=0,y+2=0得x=1,y=-2,所以直线CD过定点(1,-2).