1、第十一节 导数与函数的单调性 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)函数的导数与单调性的关系 函数 yf(x)在某个区间内可导，则(1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递增；(2)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递减；(3)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内是常数函数 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有 f(x)0.()(2)如果函数在某个区间内恒有 f(x)0，则函数 f(x)在此区间上没有单
2、调性()(3)f(x)0 是 f(x)为增函数的充要条件()(1)(2)(3)2f(x)x36x2的单调递减区间为()A(0,4)B(0,2)C(4，)D(，0)A 3(教材改编)如图 2111 所示是函数 f(x)的导函数 f(x)的图象，则下列判断中正确的是()图 2111 A函数 f(x)在区间(3,0)上是减函数 B函数 f(x)在区间(1,3)上是减函数 C函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数 D函数 f(x)在区间(3,4)上是增函数 A 4(2015陕西高考)设 f(x)xsin x，则 f(x)()A既是奇函数又是减函数 B既是奇函数又是增函数 C是有零点的减函数 D是没有
3、零点的奇函数 B 5(2014全国卷)若函数 f(x)kxln x 在区间(1，)单调递增，则 k 的取值范围是()A(，2 B(，1 C 判断或证明函数的单调性 已知函数 f(x)x3ax2b(a，bR)试讨论 f(x)的单调性.【导学号：31222081】f(x)3x22ax，令 f(x)0，解得 x10，x22a3.2 分 当 a0 时，因为 f(x)3x20，所以函数 f(x)在(，)上单调递增；4 分 当 a0 时，x，2a3(0，)时，f(x)0，x2a3，0 时，f(x)0，所以函数 f(x)在，2a3，(0，)上单调递增，在2a3，0 上单调递减；7 分 当 a0 时，x(，0
4、)2a3，时，f(x)0，x0，2a3 时，f(x)0，10 分 所以函数 f(x)在(，0)，2a3，上单调递增，在0，2a3 上单调递减.12 分 用导数证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)一求求 f(x)；(2)二定确认 f(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论作出结论：f(x)0 时为增函数；f(x)0 时为减函数 易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 (2016四川高考节选)设函数 f(x)ax2aln x，g(x)1xeex，其中 aR，e2.718为自然对数的底数(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明：当 x1
5、时，g(x)0.(1)由题意得 f(x)2ax1x2ax21x(x0).2 分 当 a0 时，f(x)0 时，由 f(x)0 有 x 12a，当 x0，12a 时，f(x)0，f(x)单调递增.7 分(2)证明：令 s(x)ex1x，则 s(x)ex11.9 分 当 x1 时，s(x)0，所以 ex1x，从而 g(x)1x 1ex10.12 分 求函数的单调区间 (2016天津高考节选)设函数 f(x)x3axb，xR，其中 a，bR.求 f(x)的单调区间 由 f(x)x3axb，可得 f(x)3x2a.下面分两种情况讨论：当 a0 时，有 f(x)3x2a0 恒成立，所以 f(x)的单调递
6、增区间为(，).5 分 当 a0 时，令 f(x)0，解得 x 3a3 或 x 3a3.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x，3a3 3a3 3a3，3a3 3a3 3a3，f(x)0 0 f(x)单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 f(x)的单调递减区间为 3a3，3a3，单调递增区间为，3a3，3a3，.12 分 求函数单调区间的步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求 f(x)；(3)在定义域内解不等式 f(x)0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式 f(x)0，得单调递减区间 已知函数 f(x)(x22x)ex，xR，e 为自然对数的底数
7、，则函数 f(x)的单调递增区间为_(2，2)已知函数的单调性求参数 已知函数 f(x)x3ax1.【导学号：31222082】若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围 因为 f(x)在(，)上是增函数，所以 f(x)3x2a0 在(，)上恒成立，即 a3x2对 xR 恒成立.5 分 因为 3x20，所以只需 a0.又因为 a0 时，f(x)3x20，f(x)x31 在 R 上是增函数，所以 a0，即实数 a的取值范围为(，0.12 分 (变换条件)函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(1，)上为增函数，求 a 的取值范围 因为 f(x)3x2a，且 f(x)在区间(1，)上为
8、增函数，所以 f(x)0 在(1，)上恒成立，即 3x2a0 在(1，)上恒成立，7 分 所以 a3x2在(1，)上恒成立，所以 a3，即 a 的取值范围为(，3.12 分 (变换条件)函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求 a 的取值范围 由 f(x)3x2a0 在(1,1)上恒成立，得 a3x2在(1,1)上恒成立.5 分 因为1x1，所以 3x23，所以 a3.即当 a 的取值范围为(变换条件)函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(1,1)上不单调，求 a 的取值范围 f(x)x3ax1，f(x)3x2a.由 f(x)0，得 x 3a3(a0).5 分 f(x
9、)在区间(1,1)上不单调，0 3a3 1，得 0a3，即 a 的取值范围为(0,3).12分 根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则 f(x)0；若函数单调递减，则 f(x)0”来求解 易错警示：(1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a，b)都有 f(x)0，且在(a，b)内的任一非空子区间上 f(x)不恒为 0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移 3 中利用了 3a3
10、(0,1)来求解 (2016全国卷)若函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(，)单调递增，则a 的取值范围是()A B.1，13 C.13，13 D.1，13 C 1已知函数解析式求单调区间，实质上是求 f(x)0，f(x)0 的解区间，并注意函数 f(x)的定义域 2含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性 3已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决 1求单调区间应遵循定义域优先的原则 2注意两种表述“函数 f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数 f(x)的减区间为(a，b)”的区别 3在某区间内 f(x)0(f
11、(x)0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件 4可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对 x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且 f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零 课时分层训练(十四)导数与函数的单调性 A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题 1函数 f(x)xln x 的单调递减区间为()A(0,1)B(0，)C(1，)D(，0)(1，)A 2已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f(x)的大致图象如图 2112 所示，则下列叙述正确的是()【导学号：31222083】图 2112 Af(b)f(c)f(d)
12、Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)C 3已知函数 f(x)12x3ax4，则“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 4若函数 f(x)2x33mx26x 在区间(2，)上为增函数，则实数 m 的取值范围为()【导学号：31222084】A(，2)B(，2 C.，52 D.，52 D 5(2016湖北枣阳第一中学 3 月模拟)函数 f(x)的定义域为 R，f(1)2，对任意 xR，f(x)2，则 f(x)2x4 的解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)B 二、
13、填空题 6函数 f(x)1xsin x 在(0,2)上的单调情况是_.【导学号：31222085】单调递增 7函数 f(x)ln xx 的单调递增区间是_(0，e)8若函数 yaxsin x 在 R 上单调递增，则 a 的最小值为_ 1 三、解答题 9已知函数 f(x)ln xkex(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 x 轴平行(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的单调区间 (1)由题意得 f(x)1xln xkex，又 f(1)1ke 0，故 k1.5 分(2)由(1)知，f(x)1xln x1ex.设 h(x)1xln x1(x0)，则 h
14、(x)1x21x0，即 h(x)在(0，)上是减函数.8 分 由 h(1)0 知，当 0 x1 时，h(x)0，从而 f(x)0；当 x1 时，h(x)0，从而 f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，).12 分 10(2015重庆高考)已知函数 f(x)ax3x2(aR)在 x43处取得极值(1)确定 a 的值；(2)若 g(x)f(x)ex，讨论 g(x)的单调性 (1)对 f(x)求导得 f(x)3ax22x，2 分 因为 f(x)在 x43处取得极值，所以 f43 0，即 3a169 243 16a3 830，解得 a12.5 分(2)由(1)得
15、 g(x)12x3x2 ex，故 g(x)32x22x ex12x3x2 ex 12x352x22x ex 12x(x1)(x4)ex.8 分 令 g(x)0，解得 x0 或 x1 或 x4.当 x4 时，g(x)0，故 g(x)为减函数；当4x0，故 g(x)为增函数；当1x0 时，g(x)0 时，g(x)0，故 g(x)为增函数 综上知，g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数.12 分 B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(x)f(2x)，且当 x(，1)时，(x1)f(x)0，设 af(0)，bf12，cf(3)，则()【导学号：31222086】Aabc Bcba Ccab Dbca C 2(2017石家庄质检(二)设 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(2)0，当x0 时，xf(x)f(x)0，则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是_(2,0)(2，)3已知函数 f(x)ln x，g(x)12axb.(1)若 f(x)与 g(x)在 x1 处相切，求 g(x)的表达式；(2)若(x)mxx1f(x)在(1)由已知得 f(x)1x，f(1)112a，a2.又g(1)012ab，b1，g(x)x1.5 分(2)(x)mxx1f(x)mxx1ln x 在.12 分