1、黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三数学第四次模拟试题 文（含解析）一、选择题1.设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A,B，再根据并集定义求结果.【详解】,故选：B【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.2.复数的共轭复数为，且满足，则复数的模是（ ）A. 1B. 2C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数、共轭复数和复数模的概念，即可求出结果.【详解】设复数，则，又，所以，又，所以复数的模为.故选：C.【点睛】本题主要考查了复数、共轭复数和复数模的概念，属于基础题.3.已知向量，若，则（ ）A. B. C. D
2、. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于的等式，进而可求得的值.【详解】，且，则，解得.故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.4.下列命题错误的是（ ）A. 若“”为真命题，则与均为真命题B. 命题“为真”是“为真”的必要不充分条件C. 若，则，D. “”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】由复合命题的真假结合充分条件，必要条件的概念可判断A，B，D，由命题否定的概念可判断C.【详解】若“”为真命题，则与均为真命题，故A正确；若“为真，则真，真，此时“为真成立，若“为真，则有可能一真一假，此时“为假，所以命题“为真”是
3、“为真”的充分不必要条件，故B错误；由特称命题的否定为全称命题可得若，则，故C正确；若“”，则“”成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确；故选：B.【点睛】本小题主要考查复合命题的真假、全称命题与特称命题的相互转化以及充分条件，必要条件等基础知识，属于基础题.5.若、满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化直线方程为斜截式得，作出不等式组所表示可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.【详解】化目标函数为直线的斜截式方程得，作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直
4、线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，此时取最大值，即.故选：C.【点睛】本题考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.6.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数图象变换求得函数的解析式，然后利用代入检验法可得出函数的图象的一条对称轴方程.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，则，因此，函数的图象的一条对称轴可以是.故选：D.【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数图象的对称轴方程，考查计算能力，属于基础
5、题.7.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据排除选项，再根据确定答案.详解】由题得，所以排除选项.由题得，所以选A.故选：A.【点睛】本题主要考查根据函数的解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.直线与圆相交于、两点，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，可得出圆心到直线的距离满足，由此可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】由题意可知，圆是圆心为坐标原点，半径的圆，直线方程为，圆心到直线的距离为，由于，即，即，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用直线截圆所对的圆
6、心角求参数，一般将问题转化为弦心距来求解，考查计算能力，属于中等题.9.若正实数、满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值.【详解】利用基本不等式可得，解得.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题.10.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽
7、略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）附：A. 10%B. 20%C. 50%D. 100%【答案】B【解析】【分析】根据题意，计算出即可.【详解】当时，当时，因所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%故选：B【点睛】本题考查的是对数的运算，掌握对数的运算法则和运算性质是解题的关键，属于中档题.11.已知正方体的外接球的体积为，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知：该几何体为一个正方体截去四个三棱锥剩余部分，然后根据正方体的外
8、接球的体积为，求得球的半径，再根据正方体的棱长与球的半径之间的关系，求得棱长，利用柱体和锥体的体积公式求解.【详解】由三视图可知：该几何体为正方体 截去三棱锥和三棱锥和三棱锥和三棱锥剩余部分，如图所示：设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，因为正方体的外接球的体积为，所以，解得，因为，解得，所以V几何体= = .故选：C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.12.定义：表示的解集中整数的个数.若，且，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数函数的图象经过平移翻折变换得到的图象，同时画出的
9、图象，由图象观察可知所满足的条件，解之即得.【详解】将的图象向右平移一个单位得到的图象，再将轴上方图象部分向下翻折对称，得到的图象如图所示，注意到,结合函数的对称性可知，为使的解集中整数的个数为2（整数解只能是2和3），必须且只需,且，即且的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查新定义型函数运算，不等式的整数解的个数问题，涉及函数的图象的平移和翻折变换，二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，数形结合思想，属中档题.二、填空题13.已知函数为偶函数，则_.【答案】【解析】【分析】首先根据得到，再计算即可.【详解】因为为上偶函数，所以.即，解得，故.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性
10、，属于简单题.14.已知，则_.【答案】【解析】【分析】由诱导公式和二倍角公式可得，将条件代入可得答案.【详解】由故答案为：【点睛】本题考查诱导公式和余弦的二倍角公式，属于基础题.15.我国在北宋年间（公元1084年）第一次印刷出版了算经十书，即贾宪的黄帝九章算法细草，刘益的议古根源，秦九韶的数书九章，李冶的测圆海镜和益古演段，杨辉的详解九章算法、日用算法和杨辉算法，朱世杰的算学启蒙和四元玉鉴.这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰，哈三中图书馆中正好有这十本书，但是书名中含有“算”字的书都已经借出，现在小张同学从剩余的书中任借两本
11、阅读，那么他借到数书九章的概率为_.【答案】【解析】【分析】首先根据题意列出全部基本事件，并求出借到数书九章的基本事件个数，再利用古典概型公式计算即可.【详解】设议古根源，测圆海镜，益古演段，四元玉鉴分别为，数书九章为.从本书中选本书共有：，共个基本事件.借到数书九章共有个基本事件，故概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.16.已知直线为经过坐标原点且不与坐标轴重合的直线，且与椭圆相交于两点，点为椭圆上异于的任意一点，若直线和的斜率之积为，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】首先设，根据得到，根据，在椭圆上，得到，再计算离心率即可.【详
12、解】由题知：设，.则，.因为，所以.又因为，在椭圆上，所以，两式相减得，即.所以，即.则.故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求法，同时考查学生的计算能力，属于中档题.三、解答题17.已知在递增等差数列中，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据题意得出关于的方程，求得的值，利用等差数列的通项公式可求得；（2）求得，利用分组求和法、裂项相消法以及等比数列求和公式可求得.【详解】（1）设数列的公差为，则，是和的等比中项，整理得，解得，因此，；（2），.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，
13、同时也考查了裂项相消法与分组求和法，考查计算能力，属于基础题.18.如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，且，点为的中点.（1）证明：平面平面；（2）若直线和平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出平面，可得出，再由，利用线面垂直的判定定理可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）取中点，连接，取中点，连接，由平面，可得出直线和平面所成的角为，计算出、，推导出平面，计算出，计算出点到平面的距离为，进而可得出直线与平面所成角的正弦值为.【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，又，且平面，平面，平面，
14、又平面，平面平面；（2）取中点，连接、，取中点，连接，由（1）知平面，平面，即为直线和平面所成的角，又，为中点，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，且，、分别为、中点，又，平面，平面，平面，平面，平面，平面，且，在矩形中，且，、分别为、的中点，且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面，点与点到平面距离相等，设点到平面距离为，则，设直线与平面所成角为，则.则直线与平面所成角的正弦值.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用定义求线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.已知某种新型病毒的传染能力很强，给人们生产和生活带来很大的影响，所以创新研发疫苗成了当务之急.为此，某
15、药企加大了研发投入，市场上这种新型冠状病毒的疫苗的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：研发费用（百万元）236101314销量（万盒）1122.544.5（1）根据上表中的数据，建立关于的线性回归方程（用分数表示）；（2）根据所求的回归方程，估计当研发费用为1600万元时，销售量为多少？参考公式：，.【答案】（1）；（2）销售量为47769盒.【解析】【分析】（1）根据表中的数据和题中所给参考公式可计算出，利用最小二乘法求的值，代入，可得，进而求出回归方程 .（2）将，代入回归方程即可.【详解】（1），（2）当时，代入回归方程（万盒）（盒）当研发费用为16000000时，销售量为4
16、7769盒.【点睛】本题考查了线性回归方程，最小二乘法等基本知识，考查了数学运算能力、数据分析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.20.已知圆经过点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线，点为曲线上一点.（1）求的值及曲线的方程；（2）若为曲线上异于的两点，且.记点到直线的距离分别为，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；2.（2）是定值，定值为16.【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用抛物线的定义得到曲线的轨迹，根据焦点和准线方程写出其标准方程；（2）设的斜率,利用点斜式写出直线的方程，与抛物线的方程联立，根据是一个交点，利用韦达定理求得的横坐标，进而得到,同理得
17、到，计算可得是定值.【详解】（1）由圆经过点且与直线相切，可知到(0,1)的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可得，点的轨迹为以(0,1)为焦点，以直线为准线的抛物线，所以其方程为，将的坐标代入，得到；（2）当的斜率为时（显然斜率存在且不为零），的斜率为 ，对应,即,与抛物线方程联立消去，整理得：是直线与抛物线的一个交点，同理（定值）.【点睛】本题考查抛物线的定义和标准方程，考查抛物线中的定值问题，属中档题，关键点在于利用韦达定理求得的横坐标，进而得到,同理得到，然后得到.21.已知函数的图象与直线相切.（1）求实数的值；（2）函数，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（
18、2）.【解析】【分析】（1）由，设切点为， 根据条件可得，两式联立可得，设，讨论出函数的单调性，从而得出方程的根为，进而求出参数的值.（2）对任意的，恒成立,即，令，则原问题等价于，讨论出函数的单调性，得出其最大值即可.【详解】解：（1）设切点为，所以函数的图象在点处的切线的斜率为又消得，令，得，当时，所以在区间单调递增，且，又因为当时，所以.则，所以（2）即即即.令，则原问题等价于，令，则，所以函数在上单调递增，因为，所以存在，使得，所以当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，由，得，即，所以所以，所以，故的取值范围为.【点睛】本题考查根据函数图像的切线求参数和不等式恒成立求参数的范围
19、，考查分离参数的思想方法和“隐零点”的代换.属于难.题22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若直线与曲线交于两点.（1）若，求；（2）若点是曲线上不同于的动点，求面积的最大值.【答案】（1）5；（2）.【解析】【分析】（1）将圆的极坐标方程化为直角方程，再利用直线参数方程中参数的几何意义可求的值.（2）先求出直线的普通方程，再分别求出的长及圆心到直线的距离，从而可求面积的最大值.【详解】解：（1）设，因为，所以，将（为参数）代入得到，,故是该方程的两个正根，又.（2）直线的直角方程为即.又，故圆心坐标为，圆心到直线
20、的距离为，故到的距离的最大值为.故，故的最大值为.【点睛】本题考查圆的极坐标方程与直角方程的互化、直线的参数方程与直角方程的互化，注意非直角方程下的最值问题，一般需转化到直角方程下去讨论求解.23.已知函数，的解集为.（1）若存在，使成立，求实数的取值范围；（2）如果对于满足，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据， 得到，再由解集为，由求解，然后将存在，使成立，转化为成立，利用绝对值三角不等式求解.（2）将，利用绝对值三角不等式转化为，再根据求解.【详解】（1）因为， 所以，所以，又的解集为.所以，解得，此时，所以.因为存在，使成立，所以成立，因为，当时等号成立，所以.（2）由（1）知，因为，所以，于是，所以.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及解集的应用，不等式有解，不等式证明和绝对值三角不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
