1、专题二函数与导数第一讲函数及其应用素能演练提升二SUNENG YANLIAN TISHENG ER掌握核心,赢在课堂1.若f(x)=f(x-4),x0,2x+13,x0,则f(2 012)=() A.43B.53C.2D.83解析:依题意,f(2 012)=f(4502+4)=f(0)=20+13=43,选A.答案:A2.(2014河南洛阳一模,2)函数f(x)=ln(x+3)1-2x的定义域是()A.(-3,0)B.(-3,0C.(-,-3)(0,+)D.(-,-3)(-3,0)解析:f(x)=ln(x+3)1-2x,要使函数f(x)有意义,需使x+30,1-2x0,即-3x0.答案:A3.
2、定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是()A.4B.3C.2D.1解析:y=x3,y=2sin x为奇函数;y=x2+1为偶函数;y=2x为非奇非偶函数.所以共有2个奇函数,故选C.答案:C4.(2013河南洛阳统一考试,11)已知x1,x2是函数f(x)=e-x-|ln x|的两个零点,则()A.1ex1x21B.1x1x2eC.1x1x210D.ex1x210解析:在同一坐标系下画出函数y=e-x与y=|ln x|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+),即在x
3、1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+).不妨设x1(0,1),x2(1,+),则有e-x1=|ln x1|=-ln x1(e-1,1),e-x2=|ln x2|=ln x2(0,e-1),e-x2-e-x1=ln x2+ln x1=ln (x1x2)(-1,0),于是有e-1x1x2e0,即1ex1x21,选A.答案:A5.(2014云南昆明三中、玉溪一中联考,11)已知函数f(x)是R上的奇函数,对于x(0,+)都有f(x+2)=-f(x),且x(0,1时,f(x)=2x+1,则f(-2 012)+f(2 013)的值为()A.1B.2C.3D.4解析:依题意,函数
4、f(x)是R上的奇函数,f(0)=0.又对于x(0,+)都有f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x),f(x)的周期为4.当x(0,1时,f(x)=2x+1,f(-2 012)+f(2 013)=-f(2 012)+f(2 013)=-f(0)+f(1)=0+3=3,故选C.答案:C6.(2014河南洛阳期末,12)已知函数f(x)=cos2x,g(x)=2-34|x-2|,x-2,6,则函数h(x)=f(x)-g(x)的所有零点之和为()A.6B.8C.10D.12解析:函数h(x)=f(x)-g(x)的所有零点之和可转化为f(x)=g(x)的根之和,即转化为y1=f(x)和y2=g
5、(x)两个函数图象的交点的横坐标之和.又由函数g(x)=2-34|x-2|与f(x)的图象均关于x=2对称,可知函数h(x)的零点之和为12.答案:D7.若函数f(x)=x2-1x2+1,则(1)f(2)f12=;(2)f(3)+f(4)+f(2 012)+f13+f14+f12 012=.解析:(1)f(x)+f1x=x2-1x2+1+1-x21+x2=0,f(x)f1x=-1(x1).f(2)f12=-1.(2)结合(1)知f(3)+f13=0,f(4)+f14=0,f(2 012)+f12 012=0,因此f(3)+f(4)+f(2 012)+f13+f12 012=0.答案:(1)-1
6、(2)08.(2014吉林长春第一次调研,16)定义x表示不超过x的最大整数,例如1.5=1,-1.5=-2.若f(x)=sin(x-x),则下列结论中:y=f(x)为奇函数;y=f(x)是周期函数,周期为2;y=f(x)的最小值为0,无最大值;y=f(x)无最小值,最大值为sin 1.正确的序号是.解析:f(1.5)=sin(1.5-1.5)=sin 0.5,f(-1.5)=sin(-1.5-1.5)=sin 0.5,则f(1.5)=f(-1.5),故错.f(x+1)=sin(x+1-x+1)=sin(x+1-x-1)=sin(x-x)=f(x),T=1,故错.g(x)=x-x在k,k+1)
7、(kZ)上是单调递增的周期函数,知g(x)0,1),故f(x)0,sin 1),故正确.易知错.综上,正确的序号为.答案:9.已知0a0,且t1.由t=ax,得x=logat,f(t)=logat+1logat(t0,且t1).f(x)=logax+1logax,定义域为x|x0,且x1.(2)f(x)在1a,+上是减函数.证明如下:x1,x21a,+,且x1x2,f(x2)-f(x1)=logax2+1logax2-logax1+1logax1=logax2x1+logax1x2logax1logax2=logax2x11-1logax1logax2.0a1,11ax11.logax2x10
8、,logax1-1,logax21.f(x2)-f(x1)0,即f(x2)2c2b,求证:(1)a0,且-3ba-34;(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;(3)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,则2|x1-x2|2c2b,a0,b-3a-2b2b.a0,-3ba0时,f(0)=c0,f(1)=-a20,函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点;当c0时,f(1)=-a20,函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点.综上所述,函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.(3)x1,x2是函数f(x)的两个零点,x1+x2=-ba,x1x2=ca=-32-ba.|x
9、1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=-ba2-4-32-ba=ba+22+2.-3ba-34,2|x1-x2|1),使得存在实数t,当x1,m时,f(x+t)x恒成立.解:(1)在中令x=1,有1f(x)1,故f(1)=1.(2)由知二次函数的图象关于直线x=-1对称,且开口向上,故设此二次函数为f(x)=a(x+1)2(a0).因为f(1)=1,所以a=14.所以f(x)=14(x+1)2.(3)f(x)=14(x+1)2的图象开口向上,而y=f(x+t)的图象是由y=f(x)的图象向左或向右平移|t|个单位得到的,要在区间1,m上使得y=f(x+t)的图象在y=x的图象下方,且m最大,则1和m应当是方程14(x+t+1)2=x的两个根.令x=1代入方程,得t=0或-4.当t=0时,方程的解为x1=x2=1(这与m1矛盾,舍去);当t=-4时,方程的解为x1=1,x2=9,所以m=9.又当t=-4时,对任意x1,9,y=f(x-4)-x=14(x-3)2-x=14(x2-10x+9)=14(x-5)2-40,即f(x-4)x恒成立.所以最大的实数m为9.