1、习题课双曲线的综合问题课后篇巩固提升基础巩固1.直线l:y=k(x-)与曲线x2-y2=1(x0)相交于A,B两点,则直线l倾斜角的取值范围是()A.0,)B.C.0,D.解析由可得x2-k2(x-)2=1(x0),整理得(1-k2)x2+2k2x-2k2-1=0在(0,+)上有两个不同的根,故解得k1,故直线的倾斜角的范围为,故选B.答案B2.设F1,F2是双曲线C:=1(b0)的两个焦点,P是双曲线C上一点,若F1PF2=90,且PF1F2的面积为9,则C的离心率等于()ABC.2D解析由已知得解得b2=9,于是离心率e=答案B3.设F1,F2是双曲线=1(a0)的左、右焦点,一条渐近线方
2、程为y=x,P为双曲线上一点,且|PF1|=3|PF2|,则PF1F2的面积等于()A.6B.12C.6D.3解析由双曲线方程知其渐近线方程为y=x,又一条渐近线方程为y=x,a=2,由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=|3|PF2|-|PF2|=2|PF2|=2a=4,解得|PF2|=2,|PF1|=6,又|F1F2|=2=2,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.PF1PF2,|PF1|PF2|=62=6.故选A.答案A4.已知双曲线=1(a0,b0),过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为()A+1B+1C.2D
3、解析设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意知直线PQ的方程为y=x,代入双曲线方程并化简得x2=,y2=3x2=,故x1+x2=0,x1x2=,y1y2=3x1x2=,设右焦点坐标为F(c,0),由于以PQ为直径的圆经过点F,故=0,即(x1-c,y1)(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边除以a4得-6-3=0,解得=3+2故c=+1,故选B.答案B5.已知双曲线C:x2-=1,过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有1个公共点,则满足上述条件的直线l的条数为()A.1B.2C.3D.4解析由图数形结合,可得与渐近线平行的直线l有2条,与
4、双曲线相切的直线l有2条,所以满足条件的直线l共有4条.答案D6.设双曲线E:=1(a0,b0)的离心率为2,则E的渐近线方程为.解析e=2,=3,=,双曲线的渐近线方程为y=x,即xy=0.答案xy=07.直线y=x+1与双曲线=1相交于A,B两点,则|AB|=.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得得x2-4x-8=0,有x1+x2=4,x1x2=-8,所以|AB|=4答案48.若点P在双曲线x2-=1上,则点P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是.解析双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,由渐近线的性质,知当点P是双曲线的一个顶点时,点P 到渐近线的距离最大,双曲线的顶点坐标
5、是(1,0),所以P到渐近线的最大距离为又双曲线与渐近线没有交点,所以点P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是答案9.已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.解设动圆M的半径为r,则由已知|MC1|=r+,|MC2|=r-(如图所示).所以|MC1|-|MC2|=2又C1(-4,0),C2(4,0),所以|C1C2|=8.由于20,b0),由题可知,点(2,3)在双曲线C上,从而有解得所以双曲线C的标准方程为x2-=1.(2)由已知得直线l的方程为y=-x+1,即x+y-1=0,所以原点O到直线l的距离d=,联立消去y可得x2
6、+x-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-1,x1x2=-2,所以|AB|=3,所以OAB的面积S=|AB|d=3能力提升1.已知双曲线=1,直线l过其左焦点F1,交双曲线左支于A,B两点,且|AB|=4,F2为双曲线的右焦点,ABF2的周长为20,则m的值为()A.8B.9C.16D.20解析由已知,|AB|+|AF2|+|BF2|=20.又|AB|=4,则|AF2|+|BF2|=16.根据双曲线的定义,2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|,所以4a=|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16-4=12,即a=3,所以m=a2=9.答案
7、B2.如图,双曲线x2-=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,PF1与圆x2+y2=1相切于点T,M是PF1的中点,则|MO|-|MT|=()A.1B.2CD解析因为M是PF1的中点,O是F1F2的中点,所以在PF1F2中,|MO|=;又|OF1|=c,|OT|=a,所以有|F1T|=b=2,所以|MT|=-|F1T|=-2,所以|MO|-|MT|=+2=-+2,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,所以|MO|-|MT|=-+2=1.故选A.答案A3.在双曲线=1(a0,b0)中,F1,F2是两焦点,点P在双曲线上,若=0,tanPF1F2=2,则=.解析因为点P在双
8、曲线上,且=0,所以PF1F2是直角三角形.又因为tanPF1F2=2,所以|PF2|=2|PF1|.而根据双曲线的定义有|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=4a,|PF1|=2a.于是|F1F2|=2a,即2c=2a,所以c=a.于是b=2a,故=-答案-4.过双曲线C:=1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.解析双曲线=1的右焦点为(c,0).不妨设所作直线与双曲线的渐近线y=x平行,其方程为y=(x-c),代入=1求得点P的横坐标为x=由=2a,得-4+1=0,解之,得=2+=2-,故双曲线C的离心率为2+答案2+
9、5.已知双曲线C:x2-y2=2及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为-,求线段AB的长.解(1)联立可得(1-k2)x2+2kx-3=0.l与C有两个不同的交点,k2且k21,-k且k1.k的取值范围为k-k,且k1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)可知,x1+x2=又AB中点的横坐标为-,=-,2k2+3k-2=0,k=-2或k=又由(1)可知,l与C有两个不同交点时,k20,b0),又知双曲线C2过点P(4,),则解得双曲线C2的标准方程为-y2=1.(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x.设A(x1,2x1),B(x2,-2x2).由消去y化简得3x2-2mx-m2=0,由=(-2m)2-43(-m2)=16m20,得m0.x1x2=-=x1x2+(2x1)(-2x2)=-3x1x2,m2=3,即m=
