1、第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系, 学生用书P151)1直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d0，所以直线l与圆相交法二：由题意知，圆心
2、(0，1)到直线l的距离d1，故直线l与圆相交法三：直线l：mxy1m0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2(y1)25的内部，所以直线l与圆相交(2)由x2y22x2y10得(x1)2(y1)21，因为直线xmy2m与圆x2y22x2y10相交，所以1，所以m0，即m(，0)(0，)【答案】(1)A(2)D判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 通关练习1已知点M(a，b)在圆O：x2y21外， 则
3、直线axby1与圆O的位置关系是()A相切B相交C相离 D不确定B解析 因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，从而圆心O到直线axby1的距离d1，所以直线与圆相交2(2017聊城模拟)圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为()A1 B2C3 D4C解析 因为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个圆与圆的位置关系学生用书P153典例引领已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21相外切，则ab的最大值为()ABC D2【解析】由圆C1与圆C2相外切，可得 21
4、3，即(ab)29，根据基本(均值)不等式可知ab，当且仅当ab时等号成立，故选C.【答案】C(1)若把本例中的“外切”改为“内切”，结论如何？(2)若把本例中的“外切”改为“相交”，则两圆公共弦所在的直线方程是什么？解 (1)由C1与C2内切得 1.即(ab)21，又ab，当且仅当ab时等号成立，故ab的最大值为.(2)由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程圆C1：x2y22ax4ya20.圆C2：x2y22bx4yb230，由得(2a2b)x3b2a20，即(2a2b)x3b2a20为所求公共弦所在直线方程 通关练习1圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y40的公切
5、线有()A1条B2条C3条 D4条D解析 圆C1：(x1)2(y1)24，所以圆心C1(1，1)，半径长r12；圆C2：(x2)2(y1)21，所以圆心C2(2，1)，半径长r21.所以d，r1r23，所以dr1r2，所以两圆外离，所以两圆有4条公切线2(2017郑州质检)若O1：x2y25与O2：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_解析 由两圆在点A处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO1AO2，在直角三角形AO1O2中，(2)2()2m2，所以m5，|AB|24.答案 4与圆有关的切线与弦长问题(高频考点)学生用书P
6、153与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下三个命题角度：(1)弦长问题；(2)切线问题；(3)由弦长及切线问题求参数典例引领(1)(2016高考全国卷乙)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_(2)已知点P(1，2)，点M(3，1)，圆C：(x1)2(y2)24.求过点P的圆C的切线方程；求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长【解】(1)圆C的方程可化为x2(ya)2a22，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r，所以圆心到直线xy2a0的距离为，
7、所以()2()2，解得a22，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4.故填4.(2)由题意得圆心C(1，2)，半径长r2.因为(11)2(22)24，所以点P在圆C上又kPC1，所以切线的斜率k1.所以过点P的圆C的切线方程是y(2)1x(1)，即xy120.因为(31)2(12)254，所以点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1，2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，解得k.所以切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得
8、，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.因为|MC|，所以过点M的圆C的切线长为1.(1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程为xx0.(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程几何法：当切线斜率存在时，设斜率为k，切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，可得出k的值，进而求出切线方程代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由判别式0，求得k，切线方程即可求出(
9、3)圆的弦长的求法几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|2. 代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|yAyB|(其中k0)特别地，当k0时，|AB|xAxB|；当斜率不存在时，|AB|yAyB|.当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的RtADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用题点通关 角度一弦长问题1(2016高考全国卷丙)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则
10、|CD|_解析 设圆心到直线l：mxy3m0的距离为d，则弦长|AB|22，得d3，即3，解得m，则直线l：xy60，数形结合可得|CD|4.答案 4 角度二切线问题2(2017重庆一模)已知P(x，y)是直线kxy40(k0)上一点，PA是圆C：x2y22y0的一条切线，A是切点，若PA的最小长度为2，则k的值为()A3BC2 D2D解析 圆C：x2y22y0的圆心是(0，1)，半径是r1，因为PA是圆C：x2y22y0的一条切线，A是切点，PA的最小长度为2，所以圆心到直线kxy40的距离为，由点到直线的距离公式可得，因为k0，所以k2，故选D. 角度三由弦长及切线问题求参数3(2016高
11、考山东卷)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2.则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交C外切 D相离B解析 由题知圆M：x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线xy0的距离d，所以22，解得a2.圆M，圆N的圆心距|MN|，两圆半径之差为1，故两圆相交, 学生用书P154)直线与圆的综合问题(本题满分12分)(2015高考全国卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.思维导图(1)(2)(1)由题设可知直线l的方程为ykx1.因为
12、直线l与圆C交于两点，所以1.(2分)解得k.所以k的取值范围为.(5分)(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.(7分)x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.(9分)由题设可得812，解得k1，所以直线l的方程为yx1.(10分)故圆心C在直线l上，所以|MN|2.(12分)(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题(3)在解题过程中，注意题目要求，严格按照
13、题目及相关知识的要求解答，不仅要注意解决问题的巧解，更要注意此类问题的通性通法, 学生用书P341(独立成册)1在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线xy40相切，则圆O的方程为()Ax2y24Bx2y23Cx2y22 Dx2y21A解析 依题意，圆O的半径r等于原点O到直线xy40的距离，即r2，得圆O的方程为x2y24.2圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切 B相交C外切 D相离B解析 由两圆心距离d，又Rr235，所以d0)，则圆C的方程为(xa)2y24.因为圆C与直线3x4y40相切，所以2，解得a2或a(舍)，所以圆C的方程为(x2)2y24.(2)依题意设直线l的方程为ykx3，由得(1k2)x2(46k)x90，因为l与圆C相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以(46k)24(1k2)90，且x1x2，x1x2，所以y1y2(kx13)(kx23)k2x1x23k(x1x2)99，又因为x1x2y1y23，所以93，整理得k24k50，解得k1或k5(不满足0，舍去)所以直线l的方程为yx3.所以圆心C到l的距离为d，则|AB|2，又AOB的底边AB上的高h.所以SAOB|AB|h.