1、课时作业13变化率与导数、导数的计算一、选择题1曲线ysinxex在点(0,1)处的切线斜率是()A2 B2C1 D1解析：ycosxex，故当x0时，切线斜率ky|x02.答案：A2(2017河南郑州质检)函数f(x)excosx的图象在点(0，f(0)处的切线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：f(0)e0cos01，因为f(x)excosxexsinx，所以f(0)1，所以切线方程为y1x0，即xy10，故选C.答案：C3(2017河南质检)已知函数f(x)sinxcosx，且f(x)f(x)，则tan2x的值是()A BC. D.解析：因为f(x)cosxsin
2、xsinxcosx，所以tanx3，所以tan2x，故选D.答案：D4直线yxb与曲线yxlnx相切，则b的值为()A2 B1C D1解析：由yxlnx得y.由y，得x1，把x1代入曲线方程yxlnx得y，所以切点坐标为，代入直线方程yxb，得b1.答案：D5如图所示，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1 B0C2 D4解析：由图象可知，f(3)1，又点(3,1)在直线l上，3k21，从而k.直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，f(3)k.g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x
3、)，则g(3)f(3)3f(3)130.答案：B6(2016山东卷)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()Aysinx BylnxCyex Dyx3解析：设函数yf(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1f(x1)，k2f(x2)，若函数具有T性质，则k1k2f(x1)f(x2)1.对于A选项，f(x)cosx，显然k1k2cosx1cosx21有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f(x)(x0)，显然k1k21无解，故该函数不具
4、有T性质；对于C选项，f(x)ex0，显然k1k2ex1ex21无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f(x)3x20，显然k1k23x3x1无解，故该函数不具有T性质故选A.答案：A二、填空题7曲线y2lnx1在点(1,1)处的切线方程为_解析：对函数y2lnx1求导为y，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k2，故曲线y2lnx1在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即2xy10.答案：2xy108若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.解析：yx1，y|x1，所以切线方程为y2(x1)，由该切线过原点，得2.答案：29曲线yln2x上的点到直线y2x的距离的最小值
5、是_解析：对yln2x求导得y，令2，得x，yln0，即与直线y2x平行的曲线yln2x的切线的切点坐标是，曲线yln2x上任意一点到直线y2x的距离的最小值是点到直线y2x的距离，即.答案：10(2016新课标全国卷)若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.解析：设ykxb与ylnx2和yln(x1)的切点分别为(x1，lnx12)和(x2，ln(x21)则切线分别为ylnx12(xx1)，yln(x21)(xx2)，化简得yxlnx11，yxln(x21)，依题意，解得x1，从而blnx111ln2.答案：1ln2三、解答题11已知曲线yx3x2在点P0
6、处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解：(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.12已知函数f(x)x，g(x)a(2lnx)(a0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值并判断两条切线是否为同一条直线解：根据题意有：曲线yf(x)在x1处的切线斜
7、率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a.所以f(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)，得y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)，得y63(x1)，即切线方程为3xy90.所以两条切线不是同一条直线1(2017河北衡水一调)设过曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)ax2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为()A1,2 B(1,2)C2,1 D(2,1)解析：由题意得f(x)ex1，g(x)a2sinx，则
8、x1R，x2R，使得(ex11)(a2sinx2)1，即函数y的值域为函数ya2sinx2的值域的子集，从而(0,1)a2，a2，即a20，a211a2，故选A.答案：A2(2017江西五校联考)已知函数fn(x)xn1，nN*的图象与直线x1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值为()A1 B1log2 0162 012Clog2 0162 012 D1解析：由题意可得点P(1,1)，fn(x)(n1)xn，所以点P处的切线的斜率为n1，故可得切线的方程为y1(n1)(x1)，所以与x轴交点的横坐标x
9、n，则log2 016 x1log2 016 x2log2 016 x2 015log2 016x1x2x2 015log2 0161，故选D.答案：D3(2016四川卷)设直线l1，l2分别是函数f(x)图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是()A(0,1) B(0,2)C(0，) D(1，)解析：不妨设P1(x1，lnx1)，P2(x2，lnx2)，由于l1l2，所以1，则x1.又切线l1：ylnx1(xx1)，l2：ylnx2(xx2)，于是A(0，lnx11)，B(0,1lnx1)，所以|AB|2.联立解得xP.所以SPAB2xP，因为x11，所以x12，所以SPAB的取值范围是(0,1)，故选A.答案：A4已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解：(1)由题意得f(x)x24x3.则f(x)(x2)211，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得1k0或k1.故由1x24x30或x24x31.得x(，2(1,3)2，)