1、2011高考数学萃取精华30套（2）1杭州二模21 (本小题满分14分)设双曲线=1( a 0, b 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(1) 证明：无论P点在什么位置，总有|2 = | ( O为坐标原点)；(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = (x a ), 解得：= (,), 同理可得= (,), | =|+| =. 4分 设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:m2
2、=, n2 = , |2 = :m2 + n2 = + = ,点P在双曲线上，b2 a2k2 0 . 无论P点在什么位置，总有|2 = | . 4分（2）由条件得：= 4ab, 2分即k2 = 0 , 4b a, 得e 2分22. (本小题满分12分)已知常数a 0, n为正整数，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x 0 )是关于x的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n a , 证明f n + 1 ( n + 1 ) 0 , x 0, fn ( x ) a0时, fn ( x ) = xn ( x + a)n是关于x的减函数,
3、 当n a时, 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x ) = ( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n n ,f n + 1 ( n + 1 ) | u v |，所以p( x)不满足题设条件.（2）分三种情况讨论：10. 若u ,v 1，0，则|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，满足题设条件；20. 若u ,v 0，1， 则|g(u) g(v)| = |(1 u) (
4、1 v)|= |v u|，满足题设条件；30. 若u1，0，v0，1，则： |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|，满足题设条件;40 若u0，1，v1，0, 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.22. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x 1)的图象上，且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c 0 ).(1) 求证：| ac | 4;(2) 求证：在(1，+）上f ( x )单调递增.(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f
5、( | c | ) 1.证：(1) tR, t 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 0 ， c 0, c2a2 16 , | ac | 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 设1 x1 x2, 则f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 x1 x2, x1 x2 0, x2 + 1 0 ,f (x2) f ( x1) 0 , 即f (x2) 0 得x 1, x 1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）f ( x )在x 1时单调递增，| c | 0 , f (| c | ) f () = = f ( | a | ) + f ( | c
6、 | ) = + +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.3南通二模19（本小题满分15分）设定义在R上的函数（其中R，i=0,1,2,3,4），当x= 1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（1，0）对称（1） 求f (x)的表达式；（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；（3） 若，求证：解：（1）5分 （2）或10分 （3）用导数求最值，可证得15分20（本小题满分13分）设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MNMQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程解：设点的坐标则1分 3分 由（1）（2）可得6分 又MNMQ，所以 直线QN的方程为，又直线PT的方程为10分 从而得所以 代入（1）可得此即为所求的轨迹方程.13分