1、第二章DIERZHANG变化率与导数5简单复合函数的求导法则课后篇巩固提升A组1.函数f(x)=(1-2x)10在点x=0处的导数是()A.0B.1C.20D.-20解析f(x)=10(1-2x)9(1-2x)=-20(1-2x)9,f(0)=-20.答案D2.设y=1+a+1-x,则y等于()A.121+a+121-xB.121-xC.121+a-121-xD.-121-x解析y=(1+a)+(1-x)=12(1-x)-12(-1)=-121-x.答案D3.若函数f(x)=3cos2x+3,则f2等于()A.-33B.33C.-63D.63解析f(x)=-6sin2x+3,f2=-6sin+
2、3=6sin3=33.答案B4.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为()A.13B.12C.23D.1解析y=-2e-2x,k=-2e0=-2.因此切线方程为y-2=-2(x-0),即y=-2x+2.如图所示,y=-2x+2与y=x的交点为23,23,y=-2x+2与x轴的交点坐标为(1,0),S=12123=13.答案A5.函数y=cos 2x+sinx的导数为()A.-2sin 2x+cosx2xB.2sin 2x+cosx2xC.-2sin 2x+sinx2xD.2sin 2x-cosx2x解析y=(cos2x+sinx)=(cos2x)+(s
3、inx)=-sin2x(2x)+cosx(x)=-2sin2x+cosx2x.答案A6.若f(x)=(2x+a)2,且f(2)=20,则a=.解析f(x)=(2x+a)2=2(2x+a)(2x+a)=4(2x+a),f(2)=4(4+a)=20.a=1.答案17.已知函数f(x)=xe2x-e的导函数为f(x),则f(0)=;若ln x0+2x0=3,则f(x0)=.解析f(x)=xe2x-e,f(x)=e2x+2xe2x=(2x+1)e2x,令x=0,得f(0)=(20+1)e0=1.lnx0+2x0=ln(x0e2x0)=3,x0e2x0=e3,f(x0)=x0e2x0-e=e3-e.答案
4、1e3-e8.求下列函数的导数:(1)f(x)=e6x-4;(2)g(x)=sin2xx+1;(3)y=e2x+e-2xex+e-x;(4)y=log2(2x2+3x+1).解(1)f(x)=(e6x-4)=e6x-4(6x-4)=6e6x-4.(2)g(x)=sin2xx+1=(sin2x)(x+1)-(x+1)sin2x(x+1)2=2cos2x(x+1)-sin2x(x+1)2=2(x+1)cos2x-sin2x(x+1)2.(3)y=e2x+e-2xex+e-x=(ex+e-x)2-2ex+e-x=ex+e-x-2ex+e-x=ex+e-x-2exe2x+1,y=(ex)+(e-x)-
5、2exe2x+1=ex-e-x-2ex(e2x+1)-2ex2e2x(e2x+1)2=ex-e-x-2ex(1-e2x)(e2x+1)2.(4)y=log2(2x2+3x+1)=log2e2x2+3x+1(2x2+3x+1)=(4x+3)log2e2x2+3x+1.9.曲线f(x)=e2xcos 3x上点(0,1)处的切线与直线l的距离为5,求l的方程.解由题意知,f(x)=(e2x)cos3x+e2x(cos3x)=2e2xcos3x-3e2xsin3x.则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k=f(0)=2,该切线方程为y-1=2x,即y=2x+1.设直线l的方程为y=2x+m,则d=|m-
6、1|5=5,解得m=-4或m=6.当m=-4时,l的方程为y=2x-4,即2x-y-4=0.当m=6时,l的方程为y=2x+6,即2x-y+6=0.综上可知,l的方程为2x-y-4=0或2x-y+6=0.B组1.曲线y=ex2在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为()A.92e2B.4e2C.2e2D.e2解析y=ex2=ex2x2=12ex2,k=12e42=12e2.切线方程为y-e2=12e2(x-4),即y=12e2x-e2.S=12|-e2|2=e2.答案D2.若点P是函数y=ex-e-x-3x-12x12图像上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为,则的最小值是()A.5
7、6B.34C.4D.6解析由导数的几何意义,得k=y=ex+e-x-32exe-x-3=-1,当且仅当x=0时等号成立,即tan-1,0,),所以的最小值是34.故选B.答案B3.求下列函数的导数.(1)y=11-2x2;(2)y=esin x;(3)y=sin2x;(4)y=5log2(2x+1).解(1)设y=u-12,u=1-2x2,则yx=yuux=(u-12)(1-2x2)=-12u-32(-4x)=-12(1-2x2)-32(-4x)=2x(1-2x2)-32.(2)设y=eu,u=sinx,则yx=yuux=eucosx=esinxcosx.(3)设y=u2,u=sinx,yx=
8、yuux=2ucosx=2sinxcosx=sin2x.(4)设y=5log2u,u=2x+1,则y=5(log2u)(2x+1)=10uln2=10(2x+1)ln2.4.设f(x)=ln(x+1)+x+1+ax+b(a,bR),曲线y=f(x)与直线y=32x在点(0,0)相切,试求a,b的值.解由y=f(x)过点(0,0),得b=-1.y=f(x)在点(0,0)处的切线斜率为32,f(x)=1x+1+12x+1+a,f(0)=32+a=32,得a=0.a=0,b=-1.5.已知函数f(x)=ln(x+1),x0,x2,x0,g(x)=3x+1,求f(g(x)和g(f(x)的导数.解(1)
9、当g(x)0,即x-13时,f(g(x)=ln(g(x)+1)=ln(3x+2);当g(x)0,即x-13时,f(g(x)=(g(x)2=(3x+1)2=9x2+6x+1;f(g(x)=ln(3x+2),x-13,9x2+6x+1,x-13.当x-13时,设u=3x+2,则fx=fuux=1u3=33x+2.当x-13时,f(g(x)=(9x2+6x+1)=18x+6.f(g(x)=33x+2,x-13,18x+6,x-13.(2)g(f(x)=3f(x)+1=3ln(x+1)+1,x0,3x2+1,x0.当x0时,设v=x+1,则gx=gvvx=3x+1.当x0时,g(f(x)=(3x2+1)=6x.g(f(x)=3x+1,x0,6x,x0.
