1、专题强化练12导数与函数的单调性及其应用一、选择题1.(2020江苏徐州三校高二下联考,)已知f(x)=12x2-cos x,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的大致图象是()2.(2020广西百色高二上期末,)定义域为R的函数f(x)满足f(-3)=6,且f(x)x2+1对xR恒成立,则f(x)13x3+15的解集为()A.(-3,+)B.(-,-3)C.(-,3)D.(3,+)3.(2020江苏南京秦淮中学高二下阶段测试,)已知函数f(x)的导函数为f(x),在(0,+)上满足xf(x)f(x),则下列结论一定成立的是()A.2 019f(2 020)2 020f(2 019)B.f(
2、2 019)f(2 020)C.2 019f(2 020)2 020f(2 019)D.f(2 019)0时,f(x)=ex(x-1),则下列判断正确的是()A.当x0时,f(x)=-e-x(x+1)B.f(x)0的解集为(-,-1)(0,1)C.函数在R上单调递增D.函数f(x)有3个零点6.(多选)()已知函数f(x)=xln x,若0x1x2,则下列结论正确的是()A.x2f(x1)x1f(x2)B.x1+f(x1)x2+f(x2)C.f(x1)-f(x2)x1-x2-1时,x1f(x1)+x2f(x2)2x2f(x1)二、填空题7.(2020江苏江阴高级中学高二下月考,)已知函数f(x
3、)=3x-2sin x,若f(a2-3a)+f(3-a)0,讨论函数f(x)的单调性;(3)若a为正整数,且函数f(x)恰有两个零点,求a的值.答案全解全析专题强化练12导数与函数的单调性及其应用一、选择题1.A依题意得f(x)=x+sinx,令h(x)=x+sinx,则h(x)=1+cosx.由于f(0)=0,因此排除C选项.由于h(0)=1+1=20,因此f(x)在x=0处的导数大于零,故排除B,D选项.故选A.2.A构造函数F(x)=f(x)-13x3,则F(x)=f(x)-x2,由f(x)x2+1对xR恒成立得,F(x)10,F(x)是R上的单调递增函数.又f(-3)=6,F(-3)=
4、f(-3)-13(-3)3=15.f(x)13x3+15f(x)-13x315F(x)F(-3),由F(x)的单调性知此不等式的解集为(-3,+),故选A.3.A令g(x)=f(x)x(x0),则g(x)=xf (x)-f(x)x2.由已知得,当x0时,g(x)0,故函数g(x)在(0,+)上是增函数,所以g(2020)g(2019),即 f(2020)2020f(2019)2019,所以2019f(2020)2020f(2019).故选A.4.C若函数f(x)=x+asin2x在0,4上单调递增,则f(x)=1+2acos2x0在0,4上恒成立,所以2a-1cos2x在0,4上恒成立,又当x
5、0,4时,0cos2x1,所以-1cos2x-1,即-1cos2x有最大值-1,则a-12,即a的取值范围为-12,+,故选C.5.BD当x0,所以f(-x)=e-x(-x-1),又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=e-x(x+1),故A错误;易得f(x)=e-x(x+1),x0,令f(x)0,可得x0,e-x(x+1)0,ex(x-1)0,解得x-1或0x1,所以f(x)0时,f(x)=ex(x-1),f(x)=ex(x-1)+ex=xex0,所以f(x)在(0,+)上为增函数,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x)在(-,0),(0,+)
6、上单调递增,但当x0且x0时,f(x)-1;当x0且x0时,f(x)1;当x=0时,f(x)=0,所以f(x)在R上不单调递增,故C错误;令f(x)=0,可得x0,ex(x-1)=0,解得x=1,又因为f(0)=0,所以函数f(x)有3个零点,故D正确.故BD.6.AD对于A,令g(x)=f(x)x=lnx,易知g(x)在(0,+)上单调递增,所以g(x1)g(x2),即f(x1)x1f(x2)x2,所以x2f(x1)x1f(x2),故A正确;对于B,令h(x)=x+f(x)=x+xlnx,则h(x)=1+lnx+1=2+lnx,当x(0,e-2)时,h(x)0,h(x)单调递增,所以x1+f
7、(x1)x2+f(x2)不恒成立,故B错误;对于C,由f(x)=xlnx可得f(x)=lnx+1,当x(0,e-1)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x1)-f(x2)x1-x2-1时,f(x)单调递增,由e-1x1f(x1),所以x1f(x1)-f(x2)-x2f(x1)-f(x2)=(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,则x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1),由A中分析可知x2f(x1)2x2f(x1),故D正确.故选AD.二、填空题7.答案(1,3)解析易知f(x)=3x-2sinx的定义域为R,f(-x)=-3x+2sinx=-f(x),函数f(x)为
8、奇函数,易得f(x)=3-2cosx0,函数f(x)在R上单调递增,f(a2-3a)+f(3-a)0,即f(a2-3a)-f(3-a)=f(a-3),a2-3aa-3,解得1a0),因为t+t20,所以2a0,即a0.故实数a的取值范围为(-,0.(2)因为f(x)=xln(x+1)-ax2+1,所以f(x)=ln(x+1)+xx+1-2ax,又f(x)在(-1,+)上是单调递减函数,所以f(x)0在(-1,+)上恒成立,且无连续区间使 f(x)恒为0.因为f(0)=0,所以f(0)是f(x)的一个极大值,令g(x)=f(x),则g(x)=1x+1+1(x+1)2-2a=-2a(x+1)2+x
9、+2(x+1)2=-2ax2+(1-4a)x+2-2a(x+1)2,则g(0)=0,即2-2a=0,解得a=1.当a=1时,有g(x)=1x+1+1(x+1)2-2=-x(2x+3)(x+1)2,当x(-1,0)时,g(x)0,则f(x)在(-1,0)上单调递增;当x(0,+)时,g(x)0,f(x)=1x+2ax-(a+2)=(ax-1)(2x-1)x,则f(1)=a-1,由于曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线与直线x+3y=0垂直,所以f(1)-13=-1,所以f(1)=a-1=3,解得a=4.(2)因为a0,所以1a0.若0a12,当0x1a时,f(x)0,当12x1a时,f(x)
10、2,则1a12,当0x12时,f(x)0,当1ax12时,f(x)0,所以函数f(x)在0,1a和12,+上单调递增,在1a,12上单调递减.综上,当0a2时,f(x)在0,1a和12,+上单调递增,在1a,12上单调递减.(3)因为a为正整数,所以若0af(1)=0,又f(e-2)=e-4-3e-2=e-2(e-2-3)2,则f1a=ln1a+a1a2-(a+2)1a+2=ln1a-1a+1,令t=1a,则0t0,所以yln12-12+1=12-ln20.由(2)知此时函数f(x)在1a,12上单调递减,在0,1a和12,+上单调递增,所以f12f1a0,所以函数f(x)在(0,+)上至多有一个零点.综上,a=1.
