湖南省郴州市2020-2021学年高二数学下学期期末教学质量监测试题（含解析）.doc

1、湖南省郴州市2020-2021学年高二数学下学期期末教学质量监测试题（含解析）一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合 ， ，则 （ ） A.B.C.D.2.若复数 的模为5，虚部为-4，则复数 （ ） A.B.C. 或 D.3.已知等比数列 中， ，数列 是等差数列，且 ，则 （ ） A.3B.6C.7D.84.刘徽(约公元225年295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术

2、的核心思想是将一个圆的内接正 边形等分成 个等腰三角形如图1所示，当 变得很大时，这 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到 的近似值为（ ） A.B.C.D.5.设 ， ， ，则（ ） A.B.C.D.6.已知平面向量 ， 满足， ， ，若 ，则 的最大值为（ ） A.1B.C.D.27.为了加强新冠疫苗的接种工作，某医院欲从5名医生和4名护士中抽选了3人(医生和护士均至少有一人)分配到 ， ， 三个地区参加医疗支援工作(每个地区一人)，方案要求医生不能去 地区，则分配方案共有（ ） A.264种B.224种C.200种D.236种8.已知函数 （ 且 ）若函数 的图象

3、上有且只有两个点关于原点对称，则 的取值范围是（ ） A.B.C.D.二、多选题(每小题4分，共20分)9.甲、乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲、乙两组数据的平均值分别为 ，则（ ） A.每次考试甲的成绩都比乙的成绩高B.甲的成绩比乙稳定C. 一定大于 D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差10.已知 ，则下列结论一定正确的是（ ） A.B.C.D.11.关于函数 有下述四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 是偶函数B. 在 上有3个零点C. 在 上单调递增D. 的最大值为212.如图所示，正三棱柱 各棱的长度均相等， 为 的中点， 分别是线段 和线段 上的动点(含端点)，且满足

4、，当 运动时，下列结论中正确的是（ ） A. 是等腰三角形B.在 内总存在与平面 垂直的线段C.三棱锥 的体积是三棱柱 的体积的 D.三、填空题:每小题4分，共20分请把答案填在答题卡的相应位置13.已知直线 是函数 的一条对称轴，写出 的一个可能值为_. 14.已知随机变量 ， 满足 ， ， _. 15.已知 的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为_ 16.已知扇形 半径为1， ，弧 上的点 满足 ，则 的最大值是_； 最小值是_. 四、解答题(共70分 )17.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 （1）求 ； （2）若 的面积为 ， 为 的中点，求 的最小值.

5、18.已知正项数列 的前 项和为 ，对 有 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求 的前项和 . 19.如图，矩形 中， ， ， 为 的中点，把 沿 翻折，满足 . （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 20.足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力.某手机App(应用程序)公司为了了解居民使用这款App使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展5个月的调查活动，从使用这款App的人数的满意度统计数据如下：月份12345不满意的人数1201051009580（1）请利用所给数据求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小

6、区10月份的对这款App不满意人数：（2）工作人员发现使用这款App居民的年龄近似服从正态分布，求的值；（3）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App与性别的关系，得到如表：使用App不使用App女性4812男性2218能否据此判断有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关？参考公式：， .附：随机变量：，则， (其中 )P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63521.已知圆 经过两点 ， 且圆心 在直线 上. （1）求圆 的方程； （2）设 ， 是圆 上异于原点 的两点，直线 ， 的斜率分

7、别为 ， ，且 ，求证：直线 经过一定点，并求出该定点的坐标. 22.某校高二年级为了丰富学生的课外活动，每个星期都举行“快乐体育”活动.在一次“套圈圈”的游戏中，规则如下：在规定的4米之外的地方有一个目标物体，选手站在原地丟圈，套中目标物即获胜；规定每小组两人，每人两次，套中的次数之和不少于3次称为“最佳拍档”，甲乙两人同一组，甲乙两人丟圈套中的概率为别为pi ， p2，假设两人是否套中相互没有影响. （1）若 ， 设甲乙两人丟圈套中的次数之和为 ，求 的分布列及数学期望 . （2）若 ，则游戏中甲乙两人这一组要想获得“最佳拍档”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时 ，

8、的值. 答案解析部分一、单选题1.设集合 ， ，则 （ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】交集及其运算 【解析】【解答】解： 故答案为：C 【分析】 根据交集的定义求出AB即可.2.若复数 的模为5，虚部为-4，则复数 （ ） A.B.C. 或 D.【答案】 C 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数求模 【解析】【解答】设 ， ， ，解得 ， .故答案为：C 【分析】 设复数 ， ， 根据复数的模求出x的值，即可求出复数z的值。3.已知等比数列 中， ，数列 是等差数列，且 ，则 （ ） A.3B.6C.7D.8【答案】 D 【考点】等差数列的性质 【解析】【解答】因为 等比数列

9、，且 ，解得 ，数列 是等差数列，则 ，故答案为：D. 【分析】因为 等比数列，且 可得 ， 解得 ， 数列 是等差数列，则 可得答案。4.刘徽(约公元225年295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 边形等分成 个等腰三角形如图1所示，当 变得很大时，这 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到 的近似值为（ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】扇形的弧长与面积 【解析】【解答】解：将一个

10、单位圆分成120个扇形， 则每个扇形的圆心角度数均为 ， 这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积， ，故答案为：B 【分析】 将一个单位圆分成120个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为3，由这1820个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，能求出sin3的近似值.5.设 ， ， ，则（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】对数的运算性质，换底公式的应用，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】 ， ， ， ，而 ， .故答案为：D 【分析】 利用对数的换底公式、运算法则、对数函数的单调性即可得出大小关系.6.已知平面向量 ， 满足， ， ，若 ，则 的最大

11、值为（ ） A.1B.C.D.2【答案】 D 【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 【解析】【解答】由题意知： ，则 ， ， ， ，则 ，易知 为等边三角形，则 ， ，又 ，当 时， 的最大值为2.故答案为：D 【分析】由题意知： ，则 ， ，则 ，易知 为等边三角形， ，可得当 时， 的最大值为2。7.为了加强新冠疫苗的接种工作，某医院欲从5名医生和4名护士中抽选了3人(医生和护士均至少有一人)分配到 ， ， 三个地区参加医疗支援工作(每个地区一人)，方案要求医生不能去 地区，则分配方案共有（ ） A.264种B.224种C.200种D.236种【答案】 C 【考点】排列、

12、组合及简单计数问题 【解析】【解答】当选取的是1名医生2名护士，共有 种选法，分配到A ， B ， C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有 种，即一共 种方案； 当选取的是2名医生1名护士，共有 种选法，分配到A ， B ， C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有 种，即一共 种方案.综上所述：分配方案共有200种.故答案为：C. 【分析】 分类计数，考虑选取1名医生2名护士和2名医生1名护士两类情况求解.8.已知函数 （ 且 ）若函数 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则 的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考

13、点】分段函数的应用 【解析】【解答】当 时，函数 关于原点对称的函数为 ，即 ，若函数 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数 与 只有一个交点，作出两个函数的图象如图： 若 时， 与函数 有唯一的交点，满足条件；当 时， 若 时，要使 与函数 有唯一的交点，则要满足 ，即 ，解得故 ；综上 的取值范围是 故答案为：C 【分析】 利用函数的对称性，画出函数的图象，通过数形结合转化求解即可.二、多选题9.甲、乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲、乙两组数据的平均值分别为 ，则（ ） A.每次考试甲的成绩都比乙的成绩高B.甲的成绩比乙稳定C. 一定大于 D.甲的成绩的极差大于乙的

14、成绩的极差【答案】 B,C 【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【解答】对于A选项，第二次月考，乙的成绩比甲的成绩要高，A选项错误； 对于B选项，甲组数据比乙组数据的波动幅度要小，甲的成绩比乙稳定，B选项正确；对于C选项，根据图象可估计出 ， ， 一定大于 ，C选项正确；对于D选项，根据图象可知甲的成绩的极差比乙的成绩的极差小，D选项错误.故答案为：BC. 【分析】 根据图象可判断A选项的正误;根据甲、乙两组数据的波动幅度大小可判断B选项的正误;根据图象判断甲、乙两组数据估计平均数的分布，可判断C选项的正误;根据图象判断甲、乙两组数据极差的大小关系，可判断出D选项的正误，

15、由此可得出结论.10.已知 ，则下列结论一定正确的是（ ） A.B.C.D.【答案】 A,B 【考点】对数函数的单调性与特殊点，基本不等式，不等式的基本性质 【解析】【解答】 ，则 ， ，A符合题意； ， ，当且仅当 时取等号，又 ， ，B符合题意； ， ， ，C不符合题意；取 时， ，此时 ，D不符合题意.故答案为：AB. 【分析】根据题目所给不等式判断a,b的大小及符号，然后运用不等式的性质判断A，利用基本不等式判断B选项，利用不等式的性质及对数函数的单调性判断C选项，举反例判断D选项。11.关于函数 有下述四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 是偶函数B. 在 上有3个零点C. 在 上

16、单调递增D. 的最大值为2【答案】 A,D 【考点】函数奇偶性的判断，函数的零点，正弦函数的零点与最值 【解析】【解答】A： 且 ，即 是偶函数，正确； B： ，零点有无数个，错误；C：由B知： 上 为常数，不单调，错误；D：由B知：在 上，当 ， 时最大值为2，正确.故答案为：AD 【分析】 利用奇偶性的定义判断A；利用特殊值判断B；求出函数的零点判断C；求出函数的最小值判断D。12.如图所示，正三棱柱 各棱的长度均相等， 为 的中点， 分别是线段 和线段 上的动点(含端点)，且满足 ，当 运动时，下列结论中正确的是（ ） A. 是等腰三角形B.在 内总存在与平面 垂直的线段C.三棱锥 的体

17、积是三棱柱 的体积的 D.【答案】 A,B,D 【考点】棱柱的结构特征 【解析】【解答】对于A选项，依题意可知 、 是 的中点、 ，所以直角梯形 和直角梯形 全等（当 ，即 和 重合、 和 重合时是全等的三角形），所以 ，所以 是等腰三角形，A选项正确. 对于B选项，设 分别是 的中点，连接 ，由于 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，由于在正三棱柱中，平面 平面 ，两个平面的交线为 ，且等边三角形 中， ，所以 平面 ，所以 平面 ，所以B选项正确.对于C选项，设正三棱柱的边长为 ，所以正三棱柱 的体积为 .根据正三棱柱的性质可知 到平面 的距离等于 到平面 的距离，结合等边三角形的性

18、质可知这个距离为 ，所以 ，所以三棱锥 的体积是三棱柱 的体积的 ，C选项错误.对于D选项，设 ，则 ， ，由余弦定理得 ，由于 ，所以 ， ， ，所以D选项正确.故答案为：ABD 【分析】根据正三棱柱的结构特征，逐项进行分析，可得答案。三、填空题13.已知直线 是函数 的一条对称轴，写出 的一个可能值为_. 【答案】 (答案不唯一，形如 ， 都可以) 【考点】正弦函数的奇偶性与对称性 【解析】【解答】解：因为直线 是函数 的一条对称轴， 所以 ，即 .故答案为： (答案不唯一，形如 ， 都可以). 【分析】 利用x=1是函数的对称轴，列出关系式，即可得到结果.14.已知随机变量 ， 满足 ，

19、 ， _. 【答案】 4 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】【解答】解：因为随机变量 满足 ， 所以 ，又因 ，所以 .故答案为：4. 【分析】 由随机变量 ， 先求出E(X)=1，再由变量Y=3X+1，得的值。15.已知 的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为_ 【答案】 40 【考点】二项式定理 【解析】【解答】令x=1可得 ，即a=1，则 ，分别求出 的展开式中的含 和x和的项的系数分别为-40，80，所以展开式中的常数项为40. 【分析】 先求出a的值，再把按照二项式定理展开，可得 的展开式中常数项.16.已知扇形 半径为1， ，弧 上的点 满足 ，则 的最大值

20、是_； 最小值是_. 【答案】 2；【考点】平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用 【解析】【解答】以 为x轴，过 作 的垂线作 轴，建立平面直角坐标系， , ， ，则 ，所以 ，所以 ， ，因为 ，所以 ，所以当 ，即 时， 取得最大值2.所以 ，因为 ，所以 ，所以当 ，即 时， 取得最小值 .故答案为：2； . 【分析】 建立坐标系，设BOP=，用表示出P点坐标，得出+及 关于的表达式，根据的范围和三角函数的性质得出答案.四、解答题17.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 （1）求 ； （2）若 的面积为 ， 为 的中点，求 的最小值. 【答案】 （1）由 及正弦定

21、理 可得： （2）由题意知 ，得 . 由余弦定理得 ，当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，所以 的最小值为 .【考点】正弦定理，余弦定理 【解析】【分析】 (1)利用正弦定理化简已知条件，然后通过余弦定理求解角C的大小; （2） 利用三角形的面积公式和余弦定理及不等式的应用求出结果.18.已知正项数列 的前 项和为 ，对 有 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求 的前项和 . 【答案】 （1） ， 当 时， ，解得 ；当 时， ，由 得 ，化为 ， 有 ， .数列 是以首项为1，公差为1的等差数列. . .（2）由（1）得 ， ， .【考点】数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】 (

22、1)当n=1时计算可知 ， 当n2时通过作差整理可知 数列是以首项为1，公差为1的等差数列 ，进而计算可得结论; (2)通过(1)可知 ， 进而利用错位相减法计算即得结论. 19.如图，矩形 中， ， ， 为 的中点，把 沿 翻折，满足 . （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】 （1）证明：由已知可得 ， ，在 中，满足 ，且 ， 、 平面 ， 平面 又 平面 ，平面 平面 .（2）解：法一：(几何法)如图所示，连接 ，取 中点 ，连接 ， ，过 作 交 于 点，连接 、 ，平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ， ，所以 即为所求的二面角的平面

23、角，由 ， ， ，又 ， 二面角 的余弦值为 .法二：(向量法)取 的中点 ，连接 平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ，如图所示，以 为坐标原点，以 ， 分别为 ， 轴，过 作 的平行线为 轴，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， 设 为平面 的法向量，有 不妨令 ，则 ， ， ，而平面 的其中一个法向量显然为 二面角 的余弦值为 .【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1）根据勾股定理可证得 ，得 平面 ， 根据面面垂直的判定定理可得平面平面； （2）法一：(几何法)如图所示，连接 ， 取中点 ， 连接 ， 得 ， 即为所求的二面角的平面角，；法二：(向

24、量法)以 ， 分别为 ， 轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的其中一个法向量，利用向量法可求出二面角的余弦值.20.足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力.某手机App(应用程序)公司为了了解居民使用这款App使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展5个月的调查活动，从使用这款App的人数的满意度统计数据如下：月份12345不满意的人数1201051009580（1）请利用所给数据求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区10月份的对这款App不满意人数：（2）工作人员发现使用这款App居民的年龄近似服从正态

25、分布，求的值；（3）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App与性别的关系，得到如表：使用App不使用App女性4812男性2218能否据此判断有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关？参考公式：， .附：随机变量：，则， (其中 )P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635【答案】 （1）由表中的数据可知， ， ，所以 ，故 ，所以所求的回归直线方程为 ；令 ，则 （ 人）所以10月该小区对这款App的不满意人数为37人；（2）依题意得 （3）由表中的数据计算可得： ， 根据临界值可得，有

26、99%的把握认为是否使用这款App与性别有关【考点】线性回归方程，独立性检验的基本思想 【解析】【分析】（1） 由表中的数据可知，根据公式求出 ， 即可求出回归直线方程， 令 ， 可求出小区10月份的对这款App不满意人数； （2）依题意得计算即可； （3） 由表中的数据计算求得K2 ， 即可的结论。21.已知圆 经过两点 ， 且圆心 在直线 上. （1）求圆 的方程； （2）设 ， 是圆 上异于原点 的两点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，求证：直线 经过一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】 （1）设圆 的方程为： ， 由题意得： ，圆 的方程： .（2）设直线 ： ， 由 ， ，设

27、， ， ， ， ， ，代入 得 ，直线 必过定点 .【考点】圆的一般方程，直线和圆的方程的应用 【解析】【分析】（1） 设圆的方程为： ， 由题意得： ，可得圆的方程； （2）设直线： ， ， ，由 ， 利用韦达定理可得 ， ， ， 解得 ，进而得出直线必过定点. 22.某校高二年级为了丰富学生的课外活动，每个星期都举行“快乐体育”活动.在一次“套圈圈”的游戏中，规则如下：在规定的4米之外的地方有一个目标物体，选手站在原地丟圈，套中目标物即获胜；规定每小组两人，每人两次，套中的次数之和不少于3次称为“最佳拍档”，甲乙两人同一组，甲乙两人丟圈套中的概率为别为pi ， p2，假设两人是否套中相互没

28、有影响. （1）若 ， 设甲乙两人丟圈套中的次数之和为 ，求 的分布列及数学期望 . （2）若 ，则游戏中甲乙两人这一组要想获得“最佳拍档”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时 ， 的值. 【答案】（1）两人丢圈套中的次数值和为，则的值可能为0，1，2，3，4，分布列如下表：01234 .（2）他们在一轮游戏中获“最佳拍档”的概率为，因为，所以，因为，所以，所以，令，以，则，当时，他们小组在轮游戏中获“最佳拍档”次数满足，由，则，所以理论上至少要进行27轮游戏，此时， .【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】（1） 两人丢圈套中的次数值和为 ， 则的值可能为0，1，2，3，4，求出对应的概率，即可求出 的分布列及数学期望 ； （2） 他们在一轮游戏中获“最佳拍档”的概率为 ， 由 ，得 ，推导出 ， 令 ， 以 ， 则 ， 当时， ， 他们小组在轮游戏中获“最佳拍档”次数满足 ， 由此求出结果。