1、综合测评(满分:150 分;时间:120 分钟)一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线 x-3y-3=0 的倾斜角为()A.6 B.3 C.23 D.56 2.函数 f(x)=1+1的图象在点(12,(12)处的切线的斜率为()A.2 B.-2 C.4 D.-4 3.已知 F1,F2为定点,F1F2=4,在同一平面内的动点 M 满足 MF1+MF2=t(t 为常数),且 t4,则动点 M 的轨迹是()A.椭圆 B.线段 C.圆 D.线段或椭圆 4.在等比数列an中,a2+a3=1,a4+a5=2,则 a6+
2、a7=()A.2 B.22 C.4 D.42 5.已知两圆的方程分别是 C1:(x-3)2+(y+2)2=1,C2:(x-7)2+(y-1)2=36,则这两圆的位置关系是()A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 6.我国古代数学名著增删算法统宗中有如下问题:“一个公公有九个儿,若问生年总不知,知长排来争三岁,其年二百七岁期,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”其大致意思是:一个公公有九个儿子,若问他们的生年是不知道的,但从老大的生年开始排列,后面每个儿子都比前面一个儿子小 3 岁,九个儿子共 207 岁,则老大的岁数是 ()A.38 B.35 C.32 D.29 7.已知在平面直角坐标系 xO
3、y 中,双曲线 C:22-22=1(a0,b0)的左焦点为 F,点 M,N 在双曲线 C 上,若四边形 OFMN 为菱形,则双曲线 C 的离心率为()A.3-1 B.5-1 C.3+1 D.5+1 8.已知函数 f(x)=ln x+ax2+(2+a)x(a0 时,方程表示椭圆 B.当 mn0,S170,d0 C.S8与 S9均为 Sn的最大值 D.a90)的焦点 F 到其准线的距离为 2,过点 F 的直线与抛物线交于 P,Q两点,M 为线段 PQ 的中点,O 为坐标原点,则()A.抛物线 C 的准线方程为 y=-1 B.线段 PQ 的长度的最小值为 4 C.SOPQ2 D.=-3 12.已知
4、f(x)=exx3,则下列结论正确的是()A.f(x)在 R 上单调递增 B.f(log52)f(e-12)b0)的短轴长为 2,上顶点为 A,左顶点为 B,左、右焦点分别是 F1、F2,且F1AB 的面积为2-32,则椭圆的标准方程为 ;若点 P 为椭圆上的任意一点,则11+12的取值范围是 .(第一个空 2 分,第二个空 3 分)四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)在 S4-a3=a6;S3是 a1与 a9的等差中项;a1+a3+a5+a7+a9=5S3这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.记
5、 Sn 为等差数列an的前 n 项和,已知 a3=5,且 .(1)求an的通项公式;(2)在(1)的条件下,记 bn=1+1,求数列bn的前 n 项和 Tn.注:选择多个条件分别解答时,按第一个解答计分.18.(本小题满分 12 分)已知某曲线 C:x2+y2+2x-4y+a=0.(1)若此曲线是圆,求 a 的取值范围,并求出其圆心和半径;(2)若 a=1,且此曲线与直线 l:x-y+1=0 相交于 M,N 两点,求弦长 MN.19.(本小题满分 12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S2=4,an+1=2Sn+1(nN*).数列bn是首项为 a1,公差不为零的等差数列,且 b1,
6、b2,b7成等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)若 cn=,数列cn的前 n 项和为 Tn,且 Tn0)的准线方程为 y=-1,直线 l 过点 P(0,-1),且与抛物线 C 交于 A,B 两点.点 A 关于 y 轴的对称点为 A,连接 AB.(1)求抛物线 C 的标准方程;(2)问直线 AB 是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ex-1-x-ax2,g(x)=bx-bln x,其中e 为自然对数的底数.(1)若当 x0 时,不等式 f(x)0 恒成立,求实数 a 的取值范围;(2)若 x0,证明:(ex-1)ln
7、(x+1)x2.答案全解全析 一、单项选择题 1.A 直线 x-3y-3=0 可化为 y=33 x-3,斜率 k=tan=33,又 0,),=6.故选 A.2.D 因为 f(x)=1+1,所以 f(x)=-12,所以 f(12)=-4.故选 D.3.D 当 t=4 时,点 M 的轨迹是线段 F1F2;当 t4 时,点 M 的轨迹是椭圆.故选 D.4.C 设等比数列an的公比为 q,则4+52+3=22+322+3=q2=2,a6+a7=a4q2+a5q2=(a4+a5)q2=22=4.故选 C.5.B 根据两圆的方程得到两圆的圆心间的距离 d=(7-3)2+(1+2)2=5,又圆 C1的半径
8、r1=1,圆 C2的半径 r2=6,且 d,r1,r2满足 r2-r1=d,所以两圆内切.6.B 由题意可知,九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄为首项,公差为-3 的等差数列,记此等差数列为an,则 9a1+982(-3)=207,解得 a1=35,故选 B.7.C 由题意可知 OF=c,由四边形 OFMN 为菱形,可得 MN=OF=c,设点 M 在 F 的上方,可知 M、N关于 y 轴对称,可设 M(-2,32),代入双曲线方程可得(-2)22-(32)22=1,结合 a2+b2=c2,可得 c4+4a4-8a2c2=0,两边同除以 a4,可得 e4+4-8e2=0,解得e2=4+23或 e
9、2=4-23,因为 e1,所以 e=4+23=(1+3)2=3+1,故选 C.8.C 由题意,g(x)=e-2,x(0,2,g(x)=e-e(e)2=1-e,令 g(x)=0,得 x=1,当 0 x0;当 1x2 时,g(x)-2,设 g(x)=e-2,x(0,2的值域为 A,则 A=(-2,1e-2.设 f(x)=lnx+ax2+(2+a)x,x(0,e的值域为 B,因为对任意的 x0(0,2,关于 x 的方程 f(x)=g(x0)在(0,e上都有实数根,所以 AB.因为当 x0+,f(x)-,所以只需 f(x)max1e-2.易得 f(x)=1+2ax+2+a=(2+1)(+1),令 f(
10、x)=0,得 x=-1或 x=-12(舍去),当-1e,即-1ea0 时,f(x)在(0,e上是增函数,则 f(x)max=f(e)=1+ae2+2e+ae1e-2,解得 a-(2e+e-1e3+e2),-1ea0.当-1e,即 a-1e时,f(x)在(0,-1)上单调递增,在(-1,e上单调递减,则 f(x)max=f(-1)=ln(-1)+1-2-11e-2,即 ln(-1)-11e-1,令 h(x)=lnx+x,易知 h(x)在(0,+)上单调递增,而 h(1e)=1e-1,于是-11e,解得-ea-1e.综上,实数 a 的取值范围为-ea0时,将原方程整理,得21+21=1,若m,n同
11、负或1=1,则方程不表示椭圆,A错误;当 mn0,a8+a9=a1+a160,B 正确.又 S17=17(1+17)2=17a90,a90,d=a9-a80,A、D 正确.易知 S8是 Sn的最大值,S9不是 Sn的最大值,C 错误.故选 ABD.11.BCD 因为抛物线的焦点F到其准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线C的焦点为F(1,0),准线方程为 x=-1,故选项 A 错误;当直线 PQ 垂直于 x 轴时,线段 PQ 的长度最小,此时不妨设 P(1,2),Q(1,-2),所以 PQmin=4,故选项 B 正确;设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 PQ 的方程为 x=my+1,
12、联立=+1,2=2,消去 x,将 p=2 代入可得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,SOPQ=12OF|y1-y2|=121(1+2)2-412=12162+162,当且仅当 m=0 时“=”成立,故选项 C 正确;x1x2=(my1+1)(my2+1)=m(y1+y2)+m2y1y2+1=1,y1y2=-4,所以 =x1x2+y1y2=-3,故选项 D 正确.故选 BCD.12.BCD f(x)=exx3,f(x)=ex(x3+3x2).令 f(x)=0,得 x=0 或 x=-3.当 x-3 时,f(x)-3 时,f(x)0,f(x)单调递增,A 错误.又 0log
13、5212e-121ln,f(log52)f(e-12)f(ln),B 正确.f(0)=0,f(-3)=e-3(-3)3=-(3e)3-1,f(x)=-1 有实数根,C 正确.显然 x=0 是方程 f(x)=kx 的根,当 x0 时,k=()=exx2,设 g(x)=exx2(x0),则 g(x)=x(x+2)ex,令 g(x)=0,得 x=0 或 x=-2.当 x 发生变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)g(x)+0-0+g(x)42 0 画出函数 g(x)的大致图象,如图所示,当 0k4e2时,g(x)=k 有 3 个实数根,D 正确.故选
14、BCD.三、填空题 13.答案 2 解析 由于直线 l1与 l2平行,则 2a=-(a-3)且 0-4a,解得 a=1,所以直线 l1的方程为 x+y=0,直线 l2的方程为 x+y-2=0,因此,直线 l1与 l2之间的距离为212+12=2.14.答案 768 解析 由 an+1=3Sn,得 Sn+1-Sn=3Sn,即 Sn+1=4Sn,又 S1=a1=1,所以数列Sn是首项为 1,公比为 4 的等比数列,所以 Sn=4n-1,所以 a6=S6-S5=45-44=344=768.15.答案 2,+)解析 f(x)=x3+ax2+x+1,f(x)=3x2+2ax+1,函数 f(x)在区间-2
15、3,-13 内是减函数,f(x)0 在 区 间(-23,-13)内恒 成 立,即 a -32-12在 区 间(-23,-13)内 恒 成立,令g(x)=-32-12(-23 -13),则 g(x)=-32+122=-32+122,当 x(-23,-33)时,g(x)0,g(x)单调递增,又 g(-23)=74,g(-13)=2,g(x)0,0,解得=2,=3,所以椭圆的标准方程为24+y2=1.由题意可得 2-3PF12+3,PF1+PF2=2a=4,所以11+12=1+212=41(4-1),因为 PF1(4-PF1)=-(1-2)2+41,4,所以11+12=41(4-1)1,4.四、解答
16、题 17.解析(1)选择条件:设等差数列an的公差为 d,则1+2=5,41+432-1-2=1+5,(2 分)解得1=1,=2,(4 分)an=2n-1.(5 分)选择条件:设等差数列an的公差为 d,则1+2=5,2(31+322)=1+1+8,(2 分)解得1=1,=2,(4 分)an=2n-1.(5 分)选择条件:设等差数列an的公差为 d,则1+2=5,55=5(1+4)=5(31+322),(2 分)解得1=1,=2,(4 分)an=2n-1.(5 分)(2)由(1)可得 bn=1+1=1(2-1)(2+1)=12(12-1-12+1),(7 分)Tn=b1+b2+bn=12(11
17、-13+13-15+12-1-12+1)=12(1-12+1)=2+1.(10 分)18.解析(1)方程 x2+y2+2x-4y+a=0 可化为(x+1)2+(y-2)2=5-a.(2 分)若其曲线是圆,则 5-a0,得 a5.(4 分)其圆心坐标为 C(-1,2),半径 r=5-.(6 分)(2)当 a=1 时,曲线的方程为(x+1)2+(y-2)2=4,(7 分)它表示的是圆,圆心为 C(-1,2),半径 r=2.(8 分)圆心到直线 l 的距离 d=|-1-2+1|2=2.(10 分)弦长 MN=22-2=24-2=22.(12 分)19.解析(1)an+1=2Sn+1(nN*),当 n
18、2 时,an=2Sn-1+1,-,化简可得 an+1=3an,(1 分)即数列an是以 3 为公比的等比数列,(2 分)又S2=4,a1+3a1=4,解得 a1=1,即 an=3n-1.(3 分)设数列bn的公差为 d(d0),b1=a1=1,b1,b2,b7成等比数列,1(1+6d)=(1+d)2,(4 分)解得 d=4 或 d=0(舍去),即 bn=4n-3,数列an和bn的通项公式分别为 an=3n-1,bn=4n-3.(6 分)(2)由(1)得 cn=4-33-1,(7 分)Tn=(13)0+5(13)1+9(13)2+(4n-3)(13)-1,13Tn=(13)1+5(13)2+9(
19、13)3+(4n-7)(13)-1+(4n-3)(13),-,得23Tn=1+4(13)1+4(13)2+4(13)-1-(4n-3)(13)=3-(4n+3)(13).(10 分)Tn=92-3(4+3)2(13),即有 Tn92恒成立,由 Tn0,所以 f(x)在区间4,8上为增函数,满足条件;(2 分)又因为 f(4)=742=124,所以当 m=13 时不满足条件.(3 分)综上可得,当参数 m=13 时不满足条件.(5 分)(2)由函数 f(x)=4-+4,可得 f(x)=14+2=2+442,x4,8,(6 分)所以当 m0 时,f(x)0,满足条件;(8 分)当 m0 时,令 f
20、(x)=0,可得 x=2-(负值舍去),当 x2-,+)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以此时若要满足条件,应有 2-4,解得-4m0)的准线方程为 y=-1,所以2=1,即 p=2,(3 分)所以抛物线 C 的标准方程为 x2=4y.(4 分)(2)由题意知直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),则A(-x1,y1),联立2=4,=-1,得 x2-4kx+4=0.则=16k2-160,x1x2=4,x1+x2=4k,(6 分)所以 kAB=2-12+1=224-1241+2=2-14.(7 分)于是直线 AB 的方程为 y-224
21、=2-14(x-x2),所以 y=2-14x+224-(2-1)24,即 y=2-14x+1,(10 分)当 x=0 时,y=1.即直线 AB 过定点(0,1).(12 分)22.解析(1)由已知得 f(x)=ex-1-2ax,(1 分)令 h(x)=ex-1-2ax,则 h(x)=ex-2a,当 x0 时,ex1.故当 2a1 时,h(x)=ex-2a0 恒成立,h(x)在0,+)上单调递增,h(x)h(0)=0,即 f(x)0,f(x)在0,+)上为增函数,f(x)f(0)=0 恒成立,a12时满足条件.(3 分)当 2a1 时,令 h(x)=0,解得 x=ln2a,在0,ln2a)上,h
22、(x)0,h(x)在0,ln2a)上单调递减,当 x0,ln2a)时,有 h(x)h(0)=0,即 f(x)0,当且仅当 x=0 时,f(x)=0,故 f(x)在0,ln2a)上为减函数,f(x)0 时,ex1+x+22 成立,即 ex-1x+22=2+22成立,(7 分)x0,ln(x+1)0,要证不等式(ex-1)ln(x+1)x2,只需证 ex-12ln(+1),(8 分)只需证2+222ln(+1),只需证 ln(x+1)22+成立,(9 分)设 F(x)=ln(x+1)-2+2(x0),(10 分)则 F(x)=1+1-4(+2)2=2(+1)(+2)2,当 x0 时,F(x)0 恒成立,故 F(x)在(0,+)上单调递增,又 F(0)=0,F(x)0 恒成立,原不等式成立.(12 分)
