1、单元质检卷四三角函数、解三角形(时间:120分钟满分:140分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2021山东威海模拟)已知一个等腰三角形是黄金三角形,其底与腰的长度的比值为黄金比值(即黄金分割值5-12,该值恰好等于2sin 18),则sin 100cos 26+cos 100sin 26=()A.-5+24B.5+24C.-5+14D.5+142.(2021全国乙,文6)cos212-cos2512=()A.12B.33C.22D.323.(2021山东青岛一模)已知角终边上有一点Ptan43,2sin-176,则cos
2、 的值为()A.12B.-12C.-32D.324.(2021湖北黄冈中学高三月考)在ABC中,C=60,a+2b=8,sin A=6sin B,则c=()A.35B.31C.6D.55.(2021四川眉山三诊)已知函数f(x)=sin4x-6,若将f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后向右平移(0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的图象关于y轴对称,则的最小值是()A.3B.6C.12D.246.(2021全国甲,理9)若0,2,tan 2=cos2-sin,则tan =()A.1515B.55C.53D.1537.(2021山东莱州一中高三月考)若函数y=co
3、s x(0)的图象在区间-2,4上只有一个对称中心,则的取值范围为()A.(1,2B.1,2)C.(1,3D.1,3)8.(2021湖南长沙模拟)如图,A,B,C是半径为1的圆周上的点,且BAC=3,AB+AC=6,则图中阴影区域的面积为()A.3B.6C.3+34D.6+349.(2021江西南昌一模)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若1tanA+1tanB=asinA,cos C=14,a2+b2=68,则ABC的面积为()A.23B.15C.4D.2510.(2021四川德阳三诊)设函数f(x)=2sin(x+)0,-20,0,|2的部分图象如图所示,则下列说法错误的是(
4、)A.函数f(x)的图象可由y=Acos(x)的图象向右平移12个单位长度得到B.函数f(x)在区间-3,12上是单调递增的C.函数f(x)在区间-2,0上的值域为-2,3D.直线x=56是函数f(x)图象的一条对称轴二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021江苏南通模拟)已知角的终边经过点(-3,4),则cos32+的值是.14.(2021河北唐山模拟)若322,化简1-cos1+cos+1+cos1-cos=.15.(2021陕西西北工大附中高三月考)将函数f(x)的图象向左平移3个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标保持不变)得到g(x)=
5、sinx2+4的图象,则f(x)的解析式为.16.(2021山东滨州二模)最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题,故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图,树顶A离地面a米,树上另一点B离地面b米,在离地面c(c0,0,|0,所以当k=-1时,=-3+2=6.6.A解析:由题意sin2cos2=cos2-sin,2sincos1-2sin2=cos2-sin,因为0,2,所以cos 0,所以2sin1-2sin2=12-sin,解得sin =14,则cos =1-142=154,所以tan =1515.7.A解析:y=cos x(0)在区间-2,4上只有一个对称中心,cos
6、x=0在该区间只有一个零点,又x-2,4,42,-32-2-2,12.8.A解析:如图所示,设圆心为O,连接OA,OB,OC,BC,因为BAC=3,所以BOC=23,所以OBC=OCB=6,BC=3.在ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcos3=(AC+AB)2-3ACAB,因为AB+AC=6,所以ACAB=1,所以SABC=12ACABsin3=34,SOBC=12OBOCsin23=34,扇形OBC的面积为S=122312=3,所以图中阴影区域的面积为S=SABC+S扇形OBC-SOBC=34+3-34=3.9.B解析:由1tanA+1tanB=asinA,可得sin
7、AcosB+cosAsinBsinAsinB=asinA,即sinCsinAsinB=asinA,所以cb=a,即c=ab.又a2+b2=68,cos C=14,所以c2=a2+b2-2abcos C=68-2c14,即2c2+c-136=0,解得c=8或c=-172(舍去),所以ab=8.又C为三角形内角,故sin C=1-cos2C=154,所以ABC的面积为SABC=12absin C=15.10.B解析:由函数f(x)=2sin(x+)的最小正周期为,可得2=,所以=2.因为图象关于直线x=23对称,所以223+=2+k,kZ,所以=-56+k,kZ,又-22,所以=6,所以f(x)=
8、2sin2x+6.对于,将f(x)的图象向右平移6个单位长度得到函数y=2sin2x-6+6=2sin2x-6的图象,所以错误;对于,f(0)=2sin6=1,所以f(x)的图象过点(0,1),所以正确;对于,f512=2sin56+6=0,所以512,0是f(x)的图象的一个对称中心,所以正确;对于,当x12,23,可得2x+63,32,所以f(x)在12,23上先增后减,所以不正确.11.D解析:由正弦定理,得BCsinBAC=ACsinABC,所以BC5314=732,所以BC=5.由AC=AD=CD=7,可得ADC=60,又ABC=120,所以A,B,C,D四点共圆,DBC=DAC=6
9、0,由余弦定理,得cos DBC=BD2+BC2-DC22BDBC,所以BD=8.12.D解析:根据图象可得A=2,f(0)=3,所以2cos =3,故=6.结合图象可得=-6,又3-6=2,所以=2,所以函数的解析:式为y=2cos2x-6.对于A,f(x)=2cos2x-6=2cos2x-12,故可由y=2cos(2x)的图象向右平移12个单位长度得到f(x)的图象,故A正确;对于B,f(x)的单调递增区间为-512+k,12+k(kZ),故-512,12是它的一个单调递增区间,而-3,12-512,12,故B正确;对于C,x-2,0,所以2x-6-76,-6,结合余弦函数的图象可得y-2
10、,3,故C正确;对于D,f56=2cos106-6=2cos32=0,不是函数的最值,故直线x=56不是函数f(x)图象的对称轴,故D错误.13.45解析:因为角的终边经过点(-3,4),所以sin =45,所以cos32+=sin =45.14.-2sin解析:1-cos1+cos=(1-cos)2(1+cos)(1-cos)=(1-cos)2sin2=1-cos|sin|,1+cos1-cos =(1+cos)2(1-cos)(1+cos)=(1+cos)2sin2=1+cos|sin|,1-cos1+cos+1+cos1-cos=1-cos|sin|+1+cos|sin|=2|sin|.
11、 又32b,所以AB,故只能选不能选,所以选.(2)(方法1)因为cos A=12,所以A=3.又因为asinA=bsinB,且a=3,b=1,所以sin B=12,所以B=6,所以C=2,所以c=a2+b2=2.(方法2)因为a2=b2+c2-2bccos A,且cos A=12,a=3,b=1,所以c2-c-2=0,所以c=2.18.解:(1)由题意,=45,=30,所以BCP=30,BPC=15,又BC=100,所以BCsinBPC=PBsinBCP,即100sin15=PBsin30,得PB=50(6+2)193 m.(2)因为=30,=45,所以A=30,APB=105,所以ABsi
12、nAPB=PBsinA,即ABsin105=50(6+2)sin30,得AB=50(6+2)6+2412=25(8+43)373 m,所以DE=AB-AD-BE=373-100-33=240 m.19.解:(1)由图可知A=2,T4=4,即T=,根据T=2,得=2,由f6=2得26+=2+2k,kZ,又因为|2,所以=6.所以函数f(x)的解析:式为f(x)=2sin2x+6.(2)由f(A)=1可得A=3,因为AD为BAC的角平分线,所以BAD=DAC=6.又因为SABC=SABD+SACD,即12ABACsin BAC=12ABADsin BAD+12ACADsin CAD,将AB=1,A
13、C=3代入可得AD=334.20.解:(1)为假命题,证明如下:在ABD中,BD=3AD,ABD=30,由正弦定理,知sin A=3sinABD=32,0A180,A=60或A=120.当A=60时,ADB=90,AB=2AD,又AB+AD=6,AB=4,AD=2,此时sinADB=1,AB=4sinADB成立.当A=120时,ABD=ADB=30,AB=AD.又AB+AD=6,AB=AD=3,此时sinADB=12,AB4sinADB.故为假命题.为假命题,证明如下:AB=4sinADB,ABD=30,由正弦定理,得ADsinABD=ABsinADB,AD=ABsinADBsinABD=41
14、2=2,BD=3AD=23.BDsinA=ADsinABD,sin A=23122=32.0A180,A=60或A=120.当A=60时,ADB=90,此时AB=4,AB+AD=6.当A=120时,ADB=30,此时AB=AD=2,AB+AD6.故为假命题.为真命题,证明如下:由正弦定理,得ADsinABD=ABsinADB,AD=ABsinADBsinABD=412=2.AB+AD=6,AB=4,sinADB=1,ADB=90,BD=ABcos 30=23=3AD,证毕.(2)由(1)知,ABD为直角三角形,且AB=4,BD=23,AD=2,在BCD中,由余弦定理,得cosBCD=BC2+C
15、D2-BD22BCCD,即-12=(BC+CD)2-2BCCD-122BCCD,整理得(BC+CD)2=BCCD+12BC+CD22+12,34(BC+CD)212,BC+CD的最大值为4,当且仅当BC=CD=2时,等号成立.BCD的周长最大值为4+23.(3)由(1)知BD=23,AB=4,ABD=30.设BC=m,m(0,23),DBC=,060.在BCD中,BCsinBDC=BDsinBCD,即msin(60-)=23sin120,可得m=4sin(60-),ABC的面积S=12ABBCsinABC=124msin(30+)=1244sin(60-)sin(30+)=8sin(60-)cos(60-)=4sin(120-2).060,0120-2120.当120-2=90,即=15时,ABC的面积取得最大值4.