1、黑龙江省哈尔滨市第九中学2021届高三数学二模试题 文（含解析）一、选择题（共12小题）.1已知集合A0，2，4，6，B（0，+），则AB（）A2，4，6B0，2，4，6CDR2当m1时，复数m（5+i）（2+i）在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率是，则双曲线的渐近线方程为（）ABCDy4下列命题正确的是（）A垂直于同一直线的两直线平行B平行于同一直线的两直线平行C两个平面垂直，其中一个面里的任意一条直线垂直于另一个面D两个平面平行，其中一个面里的任意一条直线平行于另一个面内的所有直线5在区间上随机取一个实数x，
2、使的概率为（）ABCD6设a30.7，b（）0.8，clog0.73，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcbaDcab7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）ABC6D8将函数f（x）2sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象关于直线x对称，则的最小值为（）ABCD9已知实数x，y满足，若直线kxy+10经过该可行域，则实数k的最大值为（）A1BC2D310在矩形ABCD中，AB1，AD，P为矩形内一点，且|，若，则mn的最大值（）ABCD11已知抛物线与双曲线有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在
3、双曲线上，则的最小值为（）ABCD12设函数yf（x）在（，+）内有意义，对于给定的正数k，已知函数fk（x），取函数f（x）3xex，若对任意的x（，+），恒有fk（x）f（x），则k的最小值为（）A1B2C3D4二、填空题（每小题5分）.13圆（x2）2+y24与圆x2+（y2）24的公共弦所在直线方程 14若tan，则cos2+2sin2 15已知正方形ABCD的边长为4，CD边的中点为E，现将ADE和BCE分别沿AE，BE折起，使得C，D两点重合为一点记为P，则四面体PABE外接球的表面积是 162019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机
4、等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75的方向上，仰角为30，则直升机飞行的高度为 （结果保留根号）三、解答题（本题共5小题，共70分）17已知等差数列an的前n项和为Sn，且S515，2a1+a35（1）求an的通项公式；（2）bn，kN*，求bn前10项和为T1018在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，AB2BC，点Q为AE的中点（1）求证：AC
5、平面DQF；（2）若ABC60，ACFB，求证：面CDEF平面ABCD19中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图样本频率分布直方图（1）求a值并估计中位数所在区间；（2）为了鼓励更多的学生参与学校活动，学校为100人中的80%人准备了纪念品，问本次活动得多少分以上的人可以拿到纪念品？（结果四舍五入保留整数）（3）需要从参赛选手中选出6人代表学校参
6、与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由20已知函数f（x）ex，g（x）x（1）求曲线f（x）ex过（0，0）的切线方程；（2）讨论函数h（x）f（x）（x2）ag（x）在（1，+）内的单调性21点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到直线l：x的距离的比是常数（a0，c0），（1）求点M的轨迹方程；并讨论a与c的关系，说明点M的轨迹是什么图形（2）当a2，c1时，点M的轨迹C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，设P是轨迹C上的动点，直线PB与x轴交于点N，直线PA与y轴交于点M，求证：|AN|BM|为定值请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
7、记分.22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（m0，t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）（1）求直线l的直角坐标方程；（2）若直线l经过曲线C的焦点T，且与曲绒C交于M，N两点，求|TM|TN|选做题23已知x，y，z均为正数（1）若xy1，求证：xy+yz+xz+z24xyz（2）若x+y+z3xyz，求2xy+xz+yz最小值参考答案一、选择题（每小题5分）.1已知集合A0，2，4，6，B（0，+），则AB（）A2，4，6B0，2，4，6CDR解：集合A0，2，4，6，B（0，+），AB2，4，6故选：A2当m1时，复数m
8、（5+i）（2+i）在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：复数m（5+i）（2+i）（5m2）+（m1）i在复平面内对应的点（5m2，m1），m1，5m20，m10，点（5m2，m1）位于第一象限，故选：A3已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率是，则双曲线的渐近线方程为（）ABCDy解：根据题意，已知双曲线的离心率是，即e，则有ac，又由bc，则，又由双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为yx，故选：B4下列命题正确的是（）A垂直于同一直线的两直线平行B平行于同一直线的两直线平行C两个平面垂直，其中一个面里的任意一条直线垂直于另一个面D两个平面平行，
9、其中一个面里的任意一条直线平行于另一个面内的所有直线解：垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故A错误；平行于同一直线的两直线平行，故B正确；两个平面垂直，其中在一个面里垂直于交线的直线垂直于另一个面，故C错误；两个平面平行，其中一个面里的任意一条直线与另一个面内的直线平行或异面，故D错误故选：B5在区间上随机取一个实数x，使的概率为（）ABCD解：在区间上解三角不等式得：，设“在区间上随机取一个实数x，使”为事件A，由几何概型中的线段型可得：P（A），故选：B6设a30.7，b（）0.8，clog0.73，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcbaDcab解：30.830.730
10、1，ba1，log0.73log0.710，c0，cab，故选：D7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）ABC6D解：根据三视图转换为几何体的直观图为：该几何体为三棱锥体如图所示：所以6故选：C8将函数f（x）2sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象关于直线x对称，则的最小值为（）ABCD解：函数f（x）2sin（2x+）的图象向右平移，可得y2sin（2x2+），再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的，周期变小，则g（x）2sin（4x2+），此时g（x）图象关于直线x对称，即x时，函数g（x）取得最大值或最小值2
11、+，kZ0，当k0时，可得的最小值为故选：C9已知实数x，y满足，若直线kxy+10经过该可行域，则实数k的最大值为（）A1BC2D3解：直线kxy+10过定点P（0，1），作可行域如图所示，由，得A（2，4）定点P（0，1）和A点连线的斜率最大，为k，则k的最大值为故选：B10在矩形ABCD中，AB1，AD，P为矩形内一点，且|，若，则mn的最大值（）ABCD解：如图所示，以点A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，），设点P（x，y），所以，则由已知可得x，且（x，y）m（1，0）+n（0，），所以，所以x，所以，即mn，当且仅当
12、mn时取等号，此时mn的最大值为，故选：D11已知抛物线与双曲线有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为（）ABCD解：抛物线即为x216y，则p8，故焦点坐标F（0，4），抛物线与双曲线有共同的焦点F，c2a2+116，解得a215，则双曲线的方程为x21，设点P的坐标为（x0，y0），且y0，（x0，y0）（x0，y04）x02+y024y01+y024y0y024y01，其对称轴为y0，故f（y0）y024y01在，+）单调递增，f（y0）minf（）154，故选：C12设函数yf（x）在（，+）内有意义，对于给定的正数k，已知函数fk（x），取函数f（x）3
13、xex，若对任意的x（，+），恒有fk（x）f（x），则k的最小值为（）A1B2C3D4解：由题意取函数f（x）3xex，对任意x（，+），恒有fK（x）f（x），所以kf（x）max，因为f（x）1+ex，令f（x）0，得x0，令f（x）0，得x0，所以函数f（x）3xex在x处取到最大值，f（0）30e01，故k的最小值为2，故选：B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13圆（x2）2+y24与圆x2+（y2）24的公共弦所在直线方程xy0解：根据题意，圆（x2）2+y24，即x2+y24x0，圆x2+（y2）24，即x2+y24y0，联立两个圆的方程，变形可得xy0，即两圆公
14、共弦的方程为xy0，故答案为：xy0，14若tan，则cos2+2sin2解：tan，则cos2+2sin2，故答案为：15已知正方形ABCD的边长为4，CD边的中点为E，现将ADE和BCE分别沿AE，BE折起，使得C，D两点重合为一点记为P，则四面体PABE外接球的表面积是解：如图，PEPA，PEPB，PE2，PAB是边长为4的等边三角形，设H是PAB的中心，OH平面PAB，O是外接球的球心，则OHPE1，PH，则R2OP2OH2+PH2故四面体PABE外接球的表面积是S4R24故答案为：162019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空
15、装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75的方向上，仰角为30，则直升机飞行的高度为（结果保留根号）解：如图由题上条件可得线AC平行于东西方向，ABD60，CBD75；AC千米；ABC135；BAC30；在ABC 中，BC如图D1C平面ABC，在直角BD1 C中，tanD1 BChBCtanD1 BCtan30千米故答案为：三、解答题（本题共5小题，共70分）17已知
16、等差数列an的前n项和为Sn，且S515，2a1+a35（1）求an的通项公式；（2）bn，kN*，求bn前10项和为T10解：（1）由题意，设等差数列an的公差为d，则，化简，得，解得，an1+1（n1）n，nN*（2）由（1）知，bn，kN*，T10b1+b2+b3+b4+b9+b101+22+3+24+9+210+（1+3+9）+（22+24+210）+25+1364138918在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，AB2BC，点Q为AE的中点（1）求证：AC平面DQF；（2）若ABC60，ACFB，求证：面CDEF平面ABCD【解答】证明：（1）如图，连接CE，交DF于点O，连接O
17、Q，面CDEF为正方形，O为CE，DF的中点，点Q为AE的中点QOAC，QO平面DQF，AC平面DQF，AC平面DQF（2）AB2BC，ABC60，在ABC中，由余弦定理可得AC2AB2+BC22ABBCcos603BC2，AC2+BC24BC2AB2，ACB90ACBC又ACFB，FBBCB，AC平面FBCACFCCDFC，ACCDC，FC平面ABCD又FC平面CDEF，平面CDEF平面ABCD19中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂
18、教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图样本频率分布直方图（1）求a值并估计中位数所在区间；（2）为了鼓励更多的学生参与学校活动，学校为100人中的80%人准备了纪念品，问本次活动得多少分以上的人可以拿到纪念品？（结果四舍五入保留整数）（3）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由解：（1）由频率分布直方图可知，a1（0.018+0.016+0.012+0.008+0.0062）100.34，前3组的频率为（0.006+0.012+0.018）100.360.5，前4组的频率为0.36+0.340.
19、70.5，故中位数所在的区间为60，70）；（2）因为10080%80人，所以有1008020人没有纪念品，分数在30，50）之间的有（0.006+0.012）1010018人，所以分数在50，60）之间的有20182人没有纪念品，分数在50，60）之间的共有0.0181010018人，所以50+51+51分，所以本次活动51分以上的人可以拿到纪念品；（3）选成绩最好的同学去参赛，分数在900，100之间的共有0.006101006人，所以选90分以上的人去参赛20已知函数f（x）ex，g（x）x（1）求曲线f（x）ex过（0，0）的切线方程；（2）讨论函数h（x）f（x）（x2）ag（x）在
20、（1，+）内的单调性解：（1）由f（x）ex，得f（x）ex，设切点为（），则，曲线f（x）ex在切点处的切线方程为，把（0，0）代入，可得，解得x01曲线f（x）ex过（0，0）的切线方程为yex；（2）h（x）f（x）（x2）ag（x）（x2）exa（x），则h（x）（x1）（exa）（x1），若ae，则h（x）0，h（x）在（1，+）上单调递增；若ae时，列表如下：x（1，lna）lna（lna，+） h（x） 0+ h（x）当x（1，lna）时，h（x）单调递减，当x（lna，+）时，h（x）单调递增综上，若ae，h（x）在（1，+）上单调递增；若ae，当x（1，lna）时，h（x）单
21、调递减，当x（lna，+）时，h（x）单调递增21点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到直线l：x的距离的比是常数（a0，c0），（1）求点M的轨迹方程；并讨论a与c的关系，说明点M的轨迹是什么图形（2）当a2，c1时，点M的轨迹C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，设P是轨迹C上的动点，直线PB与x轴交于点N，直线PA与y轴交于点M，求证：|AN|BM|为定值【解答】（1）解：由题意可得，整理可得（a2c2）x2+a2y2a2（a2c2），当ac0时，y0，点M的轨迹是直线；当ac0时，故点M的轨迹是椭圆；当ca0时，故点M的轨迹是双曲线（2）证明：设椭圆上一点P（2cos
22、，sin），则直线PA的方程为：，令x0，解得，故，又直线PB的方程为：，令y0，解得，所以，故|AN|BM|4，故|AN|BM|为定值请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（m0，t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）（1）求直线l的直角坐标方程；（2）若直线l经过曲线C的焦点T，且与曲绒C交于M，N两点，求|TM|TN|解：（1）直线l的极坐标方程为cos（），转换为，根据转换为直角坐标为xy10曲线C的参数方程为，（m0，t为参数），转换为直角坐标方程为y
23、2mx直线与x轴的交点坐标为（1，0），故抛物线的焦点坐标为（1，0），故抛物线的方程为y24x设直线的参数方程为（t为参数）代入抛物线的方程为y24x，得到（t1和t2为M和N对应的参数），所以t1t28，故|TM|TN|t1t2|8选做题23已知x，y，z均为正数（1）若xy1，求证：xy+yz+xz+z24xyz（2）若x+y+z3xyz，求2xy+xz+yz最小值解：（1）证明：x，y，z均为正数，xy+yz+xz+z2（x+z）（y+z）24z，当且仅当xyz时取等号又0xy1，4z4xyz，xy+yz+xz+z24xyz；（2）x+y+z3xyz，+3，yz+22，xz+22，xy+，当且仅当xyz1时取等号，xy+yz+xz+6，xy+yz+xz3，2xy+yz+xz8，2xy+xz+yz的最小值为8