1、第46章指数与对数&函数概念与性质&幂函数、指数函数和对数函数(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2021江苏南师大附中高一上期末)下列运算结果中正确的是()A.a3a4=a12B.(-a2)3=a6C.8a8=aD.5(-)5=-2.(2021江西南昌二中高一期末)若f(x)=3x,x-1,0),-13x,x0,1,则f(f(log32)的值为()A.33B.-33C.-12D.-23.(2021江苏连云港高一期末)函数f(x)=ln|x-2|(x-2)3的部分图象大致为() A
2、 B C D4.(2021江苏南通海门第一中学高一期末)已知a=12-25,b=323,c=(-3)25,则a,b,c的大小关系为()A.bacB.acbC.cabD.bca5.(2021江苏南通海门第一中学高一期末)已知函数f(x)=ax3-x2-14x,01,x1x20,x2f(x1)-x1f(x2)x2-x10成立,则实数a的取值范围为()A.14,1B.14,12C.0,12D.12,16.(2021江苏南师大附中高一月考)音乐是由不同频率的声音组成的.若音1(do)的频率为f,则简谱中七个音1(do),2(re),3(mi),4(fa),5(so),6(la),7(si)组成的音阶频
3、率分别是f,98f,8164f,43f,32f,2716f,243128f,其中相邻两个音的频率比是一个音到另一个音的台阶.上述“七声音阶”的台阶只有两个不同的值,记为、(),称为全音,称为半音,则下列关系式成立的是(参考数据:lg20.3010,lg30.4771)()A.=2B.=2C.|lg-lg|0.01D.|lg-2lg|0.017.(2021江苏江阴青阳中学高一月考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x-6),且当0x3时,f(x)=a+log2(x+1),0x1,2(x-2)2,1x3,其中a为常数,则f(2019)+f(2020)+f(2021)的值为()A.2B
4、.-2C.12D.-128. (2021江苏无锡高一期末)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.则函数f(x)=x3+3x2图象的对称中心为()A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,2)D.(1,-2)二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2021江苏张家港高级中学高一月考)已知函数f(x)=2x+2-
5、x,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)的最小值是2D.f(x)的最大值是410.(2021山东日照高一期末)已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+12,且f12=0,下列结论正确的是()A.f(0)=-12B.f(-1)=-32C.f(x)为R上的减函数D.f(x)+12为奇函数11.(2021江苏南通马塘中学高一期中)已知y=f(x+2)为奇函数,且f(3+x)=f(3-x),当x0,1时,f(x)=2x+log4(x+1)-1,则()A.f(x)的图象关于(-2,0)对称B.f(x)的图象关于(2,0)
6、对称C.f(2021)=3+log43D.f(2021)=3212.(2021湖北高一期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(-x)=0,f(x+2)-f(x)=0,且当x0,1时,f(x)=-2(x-1)2,若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+)上至少有三个不同的零点,则下列结论正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=-1对称B.当x4,5时,f(x)=-2(x-5)2C.当x2,3时,f(x)单调递减D.a的取值范围是0,22三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021江苏盐城射阳中学高一月考)若f(x)=x+1-x,则函数f(x)的值域为.1
7、4.(2021江苏苏州实验中学高一月考)设函数f(x)=log2(x-1),x2,2x,x4的解集为.15.(2021上海高一期中)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)分别满足f(x)=2x-1(0x1),1x(x1),g(x)=-x2+4x-4(x0),若存在实数a,使得f(a)g(b)成立,则实数b的取值范围是.16.(2021江苏扬州中学高一期末)定义域为R的函数F(x)=2x可以表示为一个奇函数f(x)和一个偶函数g(x)的和,则f(x)=;若关于x的不等式f(x)+abF(-x)的解的最小值为1,其中a,bR,则a的取值范围是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证
8、明过程或演算步骤)17.(10分)(2021江苏高邮中学高一月考)已知幂函数f(x)=(2m2+m-2)x2m+1在(0,+)上是增函数.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(2-a)f(a-1),求4a的取值范围.18.(12分)(2021江苏南通高一期末)已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数.当0x0,a1),且其图象如图所示.(1)求实数a,b的值及函数f(x)在区间(-2,2)上的解析式;(2)判断并证明函数f(x)在区间(-2,0)上的单调性.19.(12分)(2021江苏泰州高一期末)已知函数f(x)=lnax+bx2,其中a0且a1,b0且b1.(1)若f(x)为偶函数
9、,试确定a,b满足的等量关系;(2)已知nN*,试比较f(n)和f(2n)2的大小关系,并证明你的结论.20.(12分)(2021江苏昆山中学高一月考)近年来,我国在航天领域取得了巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度vm/s,其中v0m/s是喷流相对速度,mkg是火箭(除推进剂外)的质量,Mkg是推进剂与火箭质量的总和,Mm称为“总质比”.已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s.(1)当总质比为410时,利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度;(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速
10、度提高到了原来的1.5倍,总质比变为原来的15,若要使火箭的最大速度至少增加1000m/s,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据:ln4106,e2.718.21.(12分)(2021江苏南京大厂高级中学高一期中)已知函数y=f(x)=x-1x+12(x1).(1)求f(x)的反函数f-1(x);(2)判断f-1(x)在其定义域内的单调性;(3)若不等式(1-x)f-1(x)a(a-x)对任意x116,14恒成立,求实数a的取值范围.22.(12分)(2021江苏无锡天一中学高一期末)已知M=xR|x0且x1,fn(x)(n=1,2,)是定义在M上的一系列函数,满足f1(x)=
11、x,fi+1(x)=fix-1x(iN*).(1)求f3(x),f4(x)的解析式;(2)若g(x)为定义在M上的函数,且g(x)+gx-1x=1+x.求g(x)的解析式;若方程(2x-1-m)2x(x-1)g(x)+3x2+x+1+8x2+4x+2=0有且仅有一个实根,求实数m的取值范围.答案第46章指数与对数&函数概念与性质&幂函数、指数函数和对数函数1.DA中,a3a4=a7,故A错;B中,(-a2)3=-a6,故B错;C中,8a8=|a|,故C错;D中,5(-)5=-,故D正确.故选D.2.Af(f(log32)=f-13log32=f(-3-log32)=f(-3log32-1)=f
12、(-2-1)=f-12=3-12=33.故选A.3.Af(0)=ln2(-2)3=-ln280,(x-2)30,所以f(x)0,故排除D.故选A.4.Da=12-25=225=(22)15=415,b=323=(32)13=913,c=(-3)25=(-3)215=915.因为y=x15在(0,+)上单调递增,所以415915,即ac.因为y=9x在R上单调递增,1513,所以915913,即cca.故选D.5.Bx1x20,x2f(x1)-x1f(x2)x2-x10成立,即x2f(x1)-x1f(x2)0成立,即f(x1)x1f(x2)x2成立,y=f(x)x在(0,+)上单调递减.y=f(
13、x)x=ax2-x-14,01.0a0.01,故C错误;|lg -2lg |=lg98-2lg256243=|12lg 3-19lg 2|0.006 24,故D错误.故选AC.10.ABD令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+12f(0)=-12,故A选项正确.令x=12,y=-12,则f12-12=f12+f-12+12,即-12=0+f-12+12f-12=-1.令x=y=-12,则f-12-12=f-12+f-12+12,即f(-1)=2f-12+12=-2+12=-32,故B选项正确.由于f(-1)f(2),即loga(2+1)-2,解得0a4,解得x17;当x4,解得x2
14、,与x4的解集为(17,+).15.答案(-3,-1)(1,3)解析f(x)为奇函数,且f(x)=2x-1(0x0时,f(1)最大,为1;当x0时,f(-1)最小,为-1.g(x)为偶函数,且g(x)=-x2+4x-4(x0),g(x)的图象关于y轴对称,如图,且g(x)=-x2+4|x|-4.存在实数a,使得f(a)-1,即-b2+4|b|-4-1,1|b|3,1b3或-3b-12时,b+120,h(x)=b+122-x-2x-1在1,+)上单调递减,所以h(x)max=h(1)=b+122-1-20=b2-34,当b趋近于+时,h(x)max趋近于+,故ab+122-x-2x-1max(x
15、1)无解.当b-12时,b+120,当x1时,02-x12,b+122-x0,-2x-1-1,故h(x)=b+122-x-2x-10,解得m-12,所以m=1.故f(x)=x3.(5分)(2)由(1)知f(x)=x3,易知f(x)为R上的增函数,所以2-a0,a-10,2-aa-1,解得32a2.(8分)所以4324a42,即84a16,故4a的取值范围是(8,16.(10分)18.解析(1)由题图得f(1)=1,f12=0,所以f(1)=logab+11=1,f12=loga2b+13=0,解得a=2,b=1.所以函数f(x)在区间(0,2)上的解析式为f(x)=log21+x2-x.(2分
16、)设-2x0,则0-x2,f(-x)=log21-x2+x,又函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-log21-x2+x=log22+x1-x.(4分)又f(0)=0,所以函数f(x)在(-2,2)上的解析式为f(x)=log21+x2-x(0x2),0(x=0),log22+x1-x(-2x0).(6分)(2)函数f(x)在区间(-2,0)上单调递增.证明如下:任取x1,x2(-2,0),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=log22+x11-x1-log22+x21-x2=log22+x11-x11-x22+x2=log2(2+x1)(1-x2)(1-
17、x1)(2+x2).(8分)因为(2+x1)(1-x2)-(1-x1)(2+x2)=3(x1-x2),-2x1x20,所以0(2+x1)(1-x2)(1-x1)(2+x2),所以0(2+x1)(1-x2)(1-x1)(2+x2)1,(10分)所以log2(2+x1)(1-x2)(1-x1)(2+x2)0,所以f(x1)0,所以ab=1.(4分)经检验,ab=1满足题意.(6分)(2)f(n)f(2n)2.证明如下:f(n)-f(2n)2=lnan+bn2-12lna2n+b2n2=lnan+bn2-lna2n+b2n2.(8分)因为an+bn20,a2n+b2n20,所以an+bn22-a2n
18、+b2n22=a2n+2anbn+b2n-2a2n-2b2n4=-(an-bn)240,即an+bn2a2n+b2n2,(10分)所以lnan+bn2lna2n+b2n2,即f(n) f(2n)2.(12分)20.解析(1)当总质比为410时,v=2 000ln 410.由参考数据得v2 0006=12 000,当总质比为410时,A型火箭的最大速度约为12 000 m/s.(3分)(2)由题意,经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度为3 000 m/s,总质比为M5m.(4分)要使火箭的最大速度至少增加1 000 m/s,则需3 000ln M5m-2 000lnMm1 000,化
19、简,得3lnM5m-2lnMm1,(6分)lnM5m3-lnMm21,整理得lnM125m1,(8分)M125me,Mm125e.(10分)由参考数据知e2.718,125e339.75.在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为340.(12分)21.解析(1)由y=x-1x+12,得x=1+y1-y.(2分)y=x-1x+12=1-2x+12,且x1,0y1.f-1(x)=1+x1-x(0x1).(4分)(2)任取x1,x2(0,1),且x1x2,则f-1(x1)-f-1(x2)=2(x1-x2)(1-x1)(1-x2).0x1x21,x1-x20,1-x20,f-1(x1)a(a-x)对任意x116,14恒成立.1+xa2-ax,即(1+a)x+1-a20对任意x116,14恒成立.(8分)显然a-1.令t=x,x116,14,t14,12,g(t)=(1+a)t+1-a20对任意t14,12恒成立.(10分)g(t)=(1+a)t+1-a2是关于t的一次函数,g140且g120,即14(1+a)+1-a20,12(1+a)+1-a20,解得-1a194,解得m=-5-43或m92.(12分)