1、专题强化练 3 利用基本不等式求最值(取值范围)一、选择题 1.(2020 江苏苏州高一期中,)已知函数 y=x+3+7+2(x-2),则()A.y 有最小值-1 B.y 有最大值-1 C.y 有最小值 3 D.y 有最大值 3 2.(2020 江苏海安曲塘高级中学高一月考,)已知正实数 x,y,a 满足 2x+y=axy,若 x+2y 的最小值为 3,则实数 a 的值为()A.1 B.3 C.6 D.9 3.(多选)(2020 江苏盐城射阳中学高一期中,)若 a0,b0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的是()A.ab1 B.+2 C.a2+b22 D.1+12 4.
2、(多选)(2020 江苏宜兴中学高一月考,)下列不等式正确的是()A.若 x0,则 x+1-2 B.若 xR,则2+32+22 C.若 xR,则12+10,则(1+x)(1+1)4 5.(多选)(2020 江苏苏州实验中学高一月考,)已知 x+y=1,y0,x0,则12|+|+1的值可能是()A.12 B.14 C.34 D.54 6.(2020 江苏南京第九中学高一月考,)已知 m0,xy0,当 x+y=2 时,不等式4+92恒成立,则实数 m 的取值范围是()A.12,+)B.1,+)C.(0,1 D.(0,12 二、填空题 7.(2020 江苏吴江汾湖高级中学高一月考,)若一块矩形场地的
3、面积为 100m2,则该场地的一条对角线的长度的最小值为 m.8.(2020 江苏泰州中学高一期中,)已知不等式(x+y)(1+)16 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a的最小值为 .9.(2020 江苏如皋中学高一期中,)已知 x,yR,x2-xy+9y2=1,则 x+3y 的最大值为 .三、解答题 10.()已知 9x2+y2+4xy=10.(1)分别求 xy 和 3x+y 的最大值;(2)求 9x2+y2的最小值和最大值.11.()为了美化校园环境,学校打算在广场上建造一个矩形花园,中间有三个完全一样的矩形花坛,每个花坛的面积均为 294 平方米,花坛四周的过道宽度均为 2 米,
4、如图所示,设矩形花坛的长为 x 米,宽为 y 米,整个矩形花园的面积为 S 平方米.(1)试用 x,y 表示 S;(2)为了节约用地,当矩形花坛的长为多少米时,新建矩形花园占地最少?最少为多少平方米?答案全解全析 专题强化练 3 利用基本不等式求最值(取值范围)一、选择题 1.C x-2,x+20,y=x+3(+2)+1+2=(x+2)+1+2+12+1=3,当且仅当 x+2=1+2,即 x=-1(x=-3 舍去)时取等号,y 有最小值 3.2.B 因为正实数 x,y,a 满足 2x+y=axy,所以2+1=a,所以 x+2y=1(x+2y)(2+1)=1(5+2+2)15+22 2=9,当且
5、仅当2=2,且2+1=a 时取等号.由题意可得9=3,解得 a=3.故选 B.3.ACD 对于 A,由 2=a+b2得 ab1,当且仅当 a=b=1 时取等号,故 A 正确;对于 B,当 a=1,b=1 时,不等式不成立,故 B 错误;对于 C,a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab2,故 C 正确;对于 D,1+1=+=22,故 D 正确.故选 ACD.4.AD 对于选项 A,因为 x0,所以-x+(-1)2,所以 x+1-2,当且仅当 x=-1 时,等号成立,故 A 正确;对于选项 B,2+32+2=2+2+12+2=2+2+12+2,设2+2=t(t2),则2+32+2=+1,易得
6、 t=2时,t+1取得最小值,最小值为2+22,故 B 错误;对于选项 C,当 x=0 时,12+1=1,故 C 错误;对于选项 D,因为 x0,所以(1+x)(1+1)=2+14,当且仅当 x=1 时,等号成立,故 D 正确.故选 AD.5.CD 由 x+y=1,y0,x0,得 y=1-x0,则 x1 且 x0.当 0 x1 时,12|+|+1=12+2-=+2-4+2-=14+2-4+2-14+22-4 2-=54,当且仅当2-4=2-,即 x=23(x=-2 舍去)时取等号.当 x0,且 x+y=2,x0,y0,4+=12(4+)(x+y)=12(4+4+)124+24 =12(4+m+
7、24),当且仅当4=,即x=2y 时,等号成立.不等式4+92恒成立,12(4+m+24)92,化简得 m+4-50,解得1(-5 舍去),即 m1,实数 m 的取值范围是1,+).二、填空题 7.答案 102 解析 设矩形场地的长与宽分别为 xm,ym,则根据题意得 xy=100,该场地的一条对角线的长度为2+2m.易得 x2+y22xy=200,当且仅当 x=y=10 时,等号成立,所以2+2 102,故该场地的一条对角线的长度的最小值为 102m.8.答案 9 解析 因为(x+y)(1+)=1+1+2 =1+2,当且仅当=,x0,y0 时取等号,所以 1+a+216,整理得(+5)(-3
8、)0,解得 a9,故 a 的最小值为 9.9.答案 2155 解析 x2-xy+9y2=1,x2+9y2=1+xy2292=6xy,xy15,当且仅当 x=3y,即 x=155,y=1515 或=155,y=-1515 时,等号成立.(x+3y)2=x2+6xy+9y2=1+7xy1+715=125,当且仅当 x=155,y=1515 或=155,y=-1515 时,等号成立.-2155 +3 2155,当且仅当 x=155,y=1515 或=155,y=-1515 时,等号成立.x+3y 的最大值为2155.三、解答题 10.解析(1)10=9x2+y2+4xy23xy+4xy=10 xy,
9、当且仅当 3x=y,即 x=33,y=3或=33,y=-3时,等号成立,xy1,xy 的最大值为 1.9x2+y2+4xy=(3x+y)2-2xy=10,(3x+y)2=10+2xy12,当且仅当 x=33,y=3或=33,y=-3时,等号成立,-23 3+23,当且仅当 x=33,y=3或=33,y=-3时,等号成立,3x+y 的最大值为 23.(2)由(1)知 xy1,当且仅当 x=33,y=3或=33,y=-3时,等号成立.9x2+y2+4xy=10,9x2+y2=10-4xy10-4=6,当且仅当 x=33,y=3或=33,y=-3时,等号成立,9x2+y2的最小值为 6.9x2+y2-23xy=-6xy,当且仅当 y=-3x,即 x=33,y=-3或=33,y=3时,等号成立,xy-92+26.9x2+y2+4xy=10,10-(92+2)4 92+26,即 9x2+y230,9x2+y2的最大值为 30.11.解析(1)由题意得 S=(x+4)(3y+8)=3xy+12y+8x+32.(2)由题知 x0,xy=294,所以 S=3294+12294+8+32=914+8 (441+)914+16 441=1250,当且仅当441=x,即 x=21 时,等号成立.故当矩形花坛的长为 21 米时,新建矩形花园占地最少,最少为 1250 平方米.
