1、第2章 一元二次函数、方程和不等式本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式(x+1)(2-x)-1B.x|x1C.x|-1x2D.x|x22.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是()A.MNB.MNC.MND.MN3.设正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数),若ab的最大值为3,则k=()A.3B.32C.23D.134.已知实数0a1aa-aB.aa21a-aC.1aaa2-aD.1aa2a-a5.关于x的不等式mx2+2mx
2、-10恒成立的一个充分不必要条件是()A.-1m-12B.-1m0C.-2m1D.-3m-126.若正数a,b满足ab=2(a+b)+5,设y=(a+b-4)(12-a-b),则y的最大值是()A.12B.-12C.16D.-167.已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根,则a2bc+b2ca+c2ab的值为()A.0B.1C.2D.38.设正数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值是()A.0B.1C.94D.3二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在
3、每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.若非零实数a,b满足ab,则下列不等式不一定成立的是()A.ab1B.ba+ab2C.1ab21a2bD.a2+a0的解集为x|-12x0B.b0C.c0D.a+b+c011.下列结论正确的是()A.当x0时,x+1x2B.当x3时,x+1x的最小值是2C.当x0,y0,且2x+y=1,则2x+1y的最小值是912.已知关于x的不等式a34x2-3x+4b,则下列结论正确的是()A.当abb,a-1ab-1b同时成立,则ab应满足的条件是.14.若不等式ax2+5x+c0的解集为x|13xb,不
4、等式ax2+2x+b0对一切实数x恒成立.若存在x0R,使ax02+2x0+b=0成立,则a2+b2a-b的最小值为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在A=x|x2-2x-30,A=x|2x-2x+11,A=x|x-1|0,b0,且(a+b)ab=1.(1)求1a3+1b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得12a+13b的值为63?并说明理由.19.(本小题满分12分)已知命题p:xR,x2+2m-30,命题q:xR,x2-2mx+m+20.(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若命题q为真命题,求实数
5、m的取值范围;(3)若命题p,q至少有一个为真命题,求实数m的取值范围.20.(本小题满分12分)2020年年初,新冠肺炎疫情袭击全国,在党和国家强有力的抗疫领导下,我国控制住了疫情,之后一方面防止境外输入,另一方面复工复产.某厂经调查测算,某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.(1)据市场调查,该商品的售价每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,则该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并将定价提高到x元,公司拟投入16(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固
6、定宣传费用,投入15x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的年销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的年销售收入不低于原年收入与总投入之和?并求出此时该商品的每件定价.21.(本小题满分12分)设y=ax2+(1-a)x+a-2.(1)若不等式y-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2a-1(aR).22.(本小题满分12分)已知函数y=(m+1)x2-mx+m-1(mR).(1)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-10(mR)的解集为,求实数m的取值范围;(2)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-10的解集为D,且x
7、|-1x1D,求实数m的取值范围.答案全解全析一、单项选择题1.D由(x+1)(2-x)0,解得x2,故选D.2.AM-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=a+122+340,MN.故选A.3.D因为正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数),所以akba+kb22=1,当且仅当a=kb=1时取等号,所以ab1k.因为ab的最大值为3,所以1k=3,所以k=13.故选D.4.C0a1,0a21,-1-a0,0a2aa2-a.故选C.5.A当m=0时,原不等式可化为-10,显然成立;当m0时,原不等式恒成立需满足m0,=4m2+4m0,解得-1m0.综上可得原不等式恒
8、成立的充要条件为-1m0.结合选项,可知关于x的不等式mx2+2mx-10恒成立的一个充分不必要条件是-1m0,b0,a+b=ab-522ab,当且仅当a=b=5时,等号成立,ab25,y=(a+b-4)(12-a-b)=ab-52-412-ab-52=-14(ab-21)2+16,ymax=12.故选A.7.D设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t,则at2+bt+c=0,bt2+ct+a=0,ct2+at+b=0.+,得(a+b+c)t2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0,(a+b+c)(t2+t+1)=0.t2+t+1=t+122+340,a+b+c=0,a+b=-c,a2bc+
9、b2ca+c2ab=a3+b3+c3abc=a3+b3-(a+b)3abc=a3+b3-(a3+3a2b+3ab2+b3)abc=-3ab(a+b)abc=-3ab(-c)abc=3.故选D.8.B由题意得xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-314-3=1,当且仅当x=2y时,等号成立,此时z=2y2.故2x+1y-2z=-1y2+2y=-1y-12+11,当且仅当y=1时,等号成立,故所求的最大值为1.二、多项选择题9.ABD当ab0时,ab1不成立;当ab0时,ab+ba2不成立;因为1ab2-1a2b=a-b(ab)20,所以1ab21a2b一定成立;因为a2-b2+a-b
10、=(a-b)(a+b+1)的符号不确定,所以a2+a0的解集为x|-12x2,故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a0,故A错误;易知2和-12是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,则有ca=2-12=-10,又a0,c0,故B,C正确;因为ca=-1,所以a+c=0,又b0,所以a+b+c0,故D正确.故选BCD.11.AD对于选项A,当x0时,x0,x+1x2x1x=2,当且仅当x=1时取等号,故A正确;对于选项B,当x0时,x+1x2x1x=2,当且仅当x=1时取等号,但x3,等号取不到,因此x+1x的最小值不是2,故B错误;对于选项C,因为x0,所以2x-1+
11、42x-3=-3-2x+43-2x+2-2(3-2x)43-2x+2=-2,当且仅当3-2x=43-2x,即x=12时取等号,故C错误;对于选项D,因为x0,y0,2x+y=1,所以2x+1y=2x+1y(2x+y)=5+2yx+2xy5+22yx2xy=9,当且仅当2yx=2xy,即x=y=13时取等号,故D正确.故选AD.12.AD由34x2-3x+4b,可得3x2-12x+16-4b0,因为b1,所以=(-12)2-43(16-4b)=48(b-1)0,所以不等式a34x2-3x+4b的解集为,故A正确.在同一平面直角坐标系中作出函数y=34x2-3x+4=34(x-2)2+1的图象以及
12、直线y=a和直线y=b,如图所示,设直线y=a与函数图象交于点C,D(C在D的左侧),直线y=b与函数图象交于点A,B(A在B的左侧),由图可知,当a=2时,不等式a34x2-3x+4b的解集可以写成x|xAxxCx|xDxxB的形式,故B错误.令y=34x2-3x+4,由不等式a34x2-3x+4b的解集恰好为x|axb,可知aymin,即a1,且当x=a,x=b时,函数y=34x2-3x+4的值都是b.由34b2-3b+4=b,解得b=43或b=4.当b=43时,由34a2-3a+4=b=43,解得a=43或a=83,不满足a1,不符合题意,故C错误.当b=4时,由34a2-3a+4=b=
13、4,解得a=0或a=4(舍去),此时b-a=4-0=4,故D正确.故选AD.三、填空题13.答案ab0解析因为a-1ab-1b,所以a-1a-b-1b=(a-b)(ab+1)ab0.又ab,即a-b0,所以ab+1ab0,从而ab(ab+1)0,所以ab0.14.答案-6;-1解析由题意知a0,且关于x的方程ax2+5x+c=0的两个根分别为13,12,由根与系数的关系得-5a=13+12,ca=1312,解得a=-6,c=-1.15.答案m|1m0恒成立.当m2+4m-50时,根据题意得,m2+4m-50,16(1-m)2-12(m2+4m-5)0,m1,1m19,解得1m19.综上可知,1
14、m0,4-4ab0a0,ab1.又存在x0R,使ax02+2x0+b=0成立,4-4ab0ab1,因此ab=1,且a0,从而b0.又ab,a-b0,a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)+2a-b22,当且仅当a-b=2,即a=6+22,b=6-22时,等号成立.四、解答题17.解析选.易知A=x|x2-2x-30=(-1,3),(2分)UA=(-,-13,+).(4分)又B=0,4),AB=0,3),(7分)(UA)B=(-,-10,+).(10分)选.易知A=x|2x-2x+11=(-1,3),(2分)UA=(-,-13,+),(4分)又B=0,4),AB=0,3),(7
15、分)(UA)B=(-,-10,+).(10分)选.易知A=x|x-1|0,b0,且(a+b)ab=1,a+b=1ab,(1分)又a+b2ab当且仅当a=b=22时取等号,(2分)1ab2ab,ab12.(3分)(1)1a3+1b321a31b3=2abab42,当且仅当a=b时取等号.(6分)(2)a0,b0,12a+13b212a13b=26ab233,当且仅当2a=3b时等号成立.(10分)633-2m对xR恒成立,因此3-2m32.因此,实数m的取值范围是m|m32.(4分)(2)若命题q为真命题,则=(-2m)2-4(m+2)0,即m2-m-20,解得m2.因此,实数m的取值范围是m|
16、m2.(8分)(3)若命题p,q至少有一个为真命题,则结合(1)(2)得mm|m32m|m2=m|m32.(12分)20.解析(1)设每件定价为t元.依题意得8-t-2510.2t258,(2分)整理得t2-65t+10000,解得25t40.(4分)所以要使销售的总收入不低于原收入,则该商品每件定价最多为40元.(5分)(2)依题意知,当x25时,不等式ax258+50+16(x2-600)+15x成立,(6分)等价于x25时,a150x+16x+15有解.(8分)因为150x+16x+152150x16x+15=10.2,当且仅当150x=16x,即x=30时,等号成立,所以a10.2.(
17、10分)故当该商品改革后的年销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的年销售收入不低于原年收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.(12分)21.解析(1)ax2+(1-a)x+a-2-2对一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a0对于一切实数x恒成立.(1分)当a=0时,不等式可化为x0,不满足题意;(3分)当a0时,需满足a0,(1-a)2-4a20,解得a13.(5分)所以实数a的取值范围是a|a13.(6分)(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2a-1即ax2+(1-a)x-10.当a=0时,不等式可化为x1,所以不等式的解集为x|x0时,不等式可化为(ax+1)
18、(x-1)0,此时-1a1,所以不等式的解集为x-1ax1.(8分)当a0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)0,当a=-1时,-1a=1,不等式的解集为x|x1;(9分)当-1a1,不等式的解集为x|x-1a;(10分)当a-1时,-1a1,不等式的解集为x|x1.(11分)综上所述,当a-1时,不等式的解集为x|x1;当a=-1时,不等式的解集为x|x1;当-1a0时,不等式的解集为x|x-1a;当a=0时,不等式的解集为x|x0时,不等式的解集为x-1ax0,=(-m)2-4(m+1)(m-1)0,解得m233.(4分)综上,实数m的取值范围是233,+.(6分)(2)由题意得,对任意
19、的x-1,1,不等式(m+1)x2-mx+m-10恒成立,即对任意的x-1,1,m(x2-x+1)-x2+1恒成立.x2-x+1=x-122+340恒成立,对任意的x-1,1,m-x2+1x2-x+1=-1+2-xx2-x+1恒成立,m-x2+1x2-x+1max,x-1,1.(8分)设t=2-x,则t1,3,x=2-t,2-xx2-x+1=t(2-t)2-(2-t)+1=tt2-3t+3=1t+3t-3,t+3t23,当且仅当t=3时取等号,2-xx2-x+1123-3=23+33,当且仅当x=2-3时取等号,(10分)当x=2-3时,-x2+1x2-x+1取得最大值,最大值为-1+23+33=233,实数m的取值范围是233,+.(12分)