1、点到直线的距离基础达标练1.（2021北京怀柔第一中学高二期中）设点M(x,y)是直线x+y-2=0上的动点，O为原点，则|OM的最小值是( )A.1B.2 C.2D.3答案：B2.若点P(4,a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则实数a的取值范围是( )A.0,10) B.(0,10 C.(-10,0 D.0,10答案：D3.（2020山东聊城高二联考）若两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为( )A.105 B.71020 C.2105 D.21313答案：B4.与点M(2,1)之间的距离为2，且在x轴上的截距为4的直线的方程是( )A.x=4 B.3x-4
2、y-12=0C.x=4或3x-4y-12=0 D.y=4或3x-4y-12=0答案：C5.（2021山东潍坊一中高二月考）正方形ABCD的中心为点O(-1,0)，AB边所在的直线方程是x+3y-5=0，则CD边所在的直线的方程为( )A.x+3y+7=0 B.3x-y-3=0C.3x-y+9=0 D.x+3y-27=0答案：A6.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，则ABC的面积为( )A.5B.6C.7D.8答案：A7.（多选）（2020山东德州第一中学高二期中）已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的
3、是( )A.y=x+1 B.y=2C.y=43x D.y=x+1答案：B ; C解析：A .点M(5,0)到直线y=x+1的距离d=62=324，故错误;B .点M(5,0)到直线y=2的距离d=34，故错误，故选BC.8.点M(2,3)到直线l:ax+(a-1)y+3=0的距离等于3，则a= .答案：37或-39.（2020安徽六安城南中学高二开学考试）与直线x-y+2=0平行，且与它之间的距离为32的直线方程是 .答案：x-y+8=0或x-y-4=010.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为 .答案：43解析：设点P(x0,-x02)为抛物线y=-x2上任一点，则
4、点P到直线4x+3y-8=0的距离d=|4x0-3x02-8|5=|-3(x0-23)2-203|5，当x0=23时，dmin=43素养提升练11.（2020浙江宁波高二期中）已知m,n,a,bR，且满足3m+4n=16,3a+4b=1，则(m-a)2+(n-b)2的最小值为( )A.3B.2 C.1D.12答案：A解析：设点A(m,n),B(a,b)，直线l1:3x+4y=16，直线l2:3x+4y=1，由题意，得点A(m,n)在直线l1:3x+4y=16上，点B(a,b)在直线l2:3x+4y=1上，所以|AB|=(m-a)2+(n-b)2，显然l1l2，所以|AB|的最小值就是两平行线之
5、间的距离，即|AB|min=|16-1|9+16=3 .12.两平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1)，它们分别绕P,Q旋转，但始终保持平行，则l1,l2之间的距离的取值范围是( )A.（0，+）B.0，5C.（0，5D.（0，17 答案：C解析：|PQ|=(-1-2)2+(3+1)2=5，当PQl1时，l1与l2的最大距离为5，因为两直线平行，所以两直线间的距离不为0，故选C.13.当m=时，直线l1:5x-2y+3m(3m+1)=0 l与l2:2x+6y-3m(9m+20)=0的交点到直线l3:4x-3y-12=0的距离最短，这个最短距离为 .答案：-59 ; 4730解
6、析：设l1与l2的交点为M，则由5x2y3m(3m1)0,2x6y3m(9m20)0,解得M(3m,9m2+18m2) .设M到l3的距离为d，则d=|12m-32(9m2+18m)-12|42+(-3)2=11027(m+59)2+473 .故当m=-59时，dmin=4730 .14.如图，已知直线l1:x+y-1=0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求l2的方程.答案：设l2的方程为x+y-b=0(b1)，则A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b)，|AD|=2,|BC|=2b .梯形的高h就是点A到直线l2的距离，故h=|1
7、+0-b|2=|1-b|2=b-12(b1) .由梯形面积公式，得2+2b2b-12=4，b2=9,b=3 .b1,b=3 .直线l2的方程是x+y-3=0 .15.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a0)，l2:-4x+2y+1=0，l3:x+y-1=0，且l1与l2间的距离是7510 .（1）求a的值；（2）能否找到一点P，使点P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到直线l1的距离是点P到直线l2的距离的12；点P到直线l1的距离与点P到直线l3的距离之比是2:5 .若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.答案：（1）因为直线l1的方程可化为-4x+2y-2a=0(a0) ,l2：-
8、4x+2y+1=0，且l1与l2间的距离是7510 ,所以|-2a-1|16+4=7510，解得a=3（a=-4舍去）.（2）设点P的坐标为(m,n)，m0,n0，若点P满足条件，则点P在与l1,l2平行的直线l:2x-y+C=0上，又l1:2x-y+3=0,l2:2x-y-12=0，所以|C-3|5=12|C+12|5，解得C=132或C=116，故有2m-n+132=0或2m-n+116=0；若点P满足条件，由题意及点到直线的距离公式，可得|2m-n+3|5|m+n-1|2=25，化简，可得|2m-n+3|=|m+n-1|，故有2m-n+3=m+n-1或2m-n+3=-(m+n-1)，即m
9、-2n+4=0或3m+2=0（舍去）.联立2m-n+132=0和m-2n+4=0，解得m=-3,n=12,舍去.联立2m-n+116=0和m-2n+4=0，解得m=19,n=3718,故点P的坐标为(19,3718)，故能找到一点P同时满足这三个条件.创新拓展练16.已知P是等腰三角形ABC的底边BC上一点（不与B、C重合），PMAB于M，PNAC于N，用解析法证明|PM|+|PN|为定值解析：命题分析本题考查点到直线的距离公式和应用解析法解决平面图形问题，即证明等腰三角形底边上一点到两腰所在直线的距离的和为定值.答题要领建立平面直角坐标系，写出各边所在直线的方程，利用点到直线的距离公式求出|
10、PM和|PN|答案：证明过点A作AOBC，垂足为O，以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(-a,0),C(a,0),A(0,b),P(x1,0)，其中a0,b0,a,b为定值，x1为参数，-ax1a，AB所在直线的方程为bx-ay+ab=0，AC所在直线的方程为bx+ay-ab=0，由点到直线的距离公式得|PM|=|bx1+ab|a2+b2,|PN|=|bx1-ab|a2+b2a0,b0,ab0,-ab0，|PM|+|PN|=bx1+ab-(bx1-ab)a2+b2=2aba2+b2为定值方法感悟解析法（坐标法）即通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化成代数问题，用处理代数问题的方法解决问题，这种方法是联系平面解析几何的纽带求定值问题，应先表示出要证明为定值的式子，最后化简为定值