1、 数 学 E单元不等式 E1不等式的概念与性质10H6、E1 设双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A(1，0)(0，1) B(，1)(1，)C(，0)(0，)D(，)(，)10A 由题意得A(a，0)，不妨取Bc，Cc，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D(x0，0)，由BDAC得1，解得cx0，由题可知cx0aac，所以c2a2b2101.因为双曲线渐近线的斜率为，所以渐近线斜率的取值范围是(1，0)(0，1)22D3、E1、E
2、7 在数列an中，a13，an1anan1a0(nN)(1)若0，2，求数列an的通项公式；(2)若(k0N，k02)，1，证明：2ak010，归纳可得3a1a2anan10.因为an1an，所以ak01a1(a2a1)(ak01ak0)a1k02k0个2.另一方面，由上已证的不等式知a1a2ak0ak012，得ak01a1k02k0个2.综上，2ak012.E2 绝对值不等式的解法4A2、E2、E3 设xR，则“|x2|0”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4A 由|x2|1，解得1x0，解得x1或x2.由1x1或x2，反之，不成立，所以“|x2|
3、0 ”的充分不必要条件故选A.E3一元二次不等式的解法 7E3 不等式2x2x4的解集为_7x|1x2(或(1，2) 因为2x2x422，所以x2x2，解得1x2，故不等式的解集为(1，2)4A2、E2、E3 设xR，则“|x2|0”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4A 由|x2|1，解得1x0，解得x1或x2.由1x1或x2，反之，不成立，所以“|x2|0 ”的充分不必要条件故选A.E4 简单的一元高次不等式的解法E5简单的线性规划问题6E5 若变量x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为()A4 B.C6 D.6B 画出约束条件表示的可行域如图
4、所示，易知目标函数在点A处取得最小值，A点的坐标为，所以zmin32.20K6、K8、K5、E5 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z(单位：元)是一个随机变量(1)求Z的分布列和均值；(2)若每天可获
5、取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率20解：(1)设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有目标函数z1000x1200y.图(1)图(2)图(3)当W12时，表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为A(0，0)，B(2.4，4.8)，C(6，0)将z1000x1200y变形为yx，当x2.4，y4.8时，直线l：yx在y轴上的截距最大，最大获利Zzmax2.410004.812008160.当W15时，表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(7.5，0)将z1000x1200y变形为yx，当x3，y
6、6时，直线l：yx在y轴上的截距最大，最大获利Zzmax310006120010 200.当W18时，表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(6，4)，D(9，0)将z1000x1200y变形为yx，当x6，y4时，直线l：yx在y轴上的截距最大，最大获利Zzmax610004120010 800.故最大获利Z的分布列为Z816010 20010 800P0.30.50.2因此，E(Z)81600.310 2000.510 8000.29708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率P1P(Z10 000)0.50.20.7，由二项分布，3天中至
7、少有1天最大获利超过10 000元的概率为P1(1P1)310.330.973.14E5 若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_14. 画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为yxz，所以直线zxy过点B时，z取得最大值.15E5 若x，y满足约束条件则的最大值为_153 的几何意义为点(x，y)与坐标原点连线的斜率画出可行域，如图中阴影部分所示由得C(1，3)，由题易知可行域上的C点与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为3.2E5 若x，y满足 则zx2y的最大值为()A0 B1 C. D22D 画出可行域，如图中阴影部分所示目标函数zx2y可变为yxz，当函数yxz过点C(0，1)时，
8、z取得最大值2.5E5 若变量x，y满足约束条件则z2xy的最小值等于()A B2C D25A 可行域如图所示，当直线y2xz过点A时，z取得最小值，且zmin.4E5 若变量x，y满足约束条件则z3xy的最小值为()A7 B1 C1 D24A 画出可行域，平移直线y3xz，在直线xy1与y1的交点A(2，1)处z取最小值，故zmin3(2)17.6E5 已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a()A3 B2 C2 D36B 可行域如图所示，当a0时，直线yaxz的斜率为负，目标函数在点A(1，1)或B(2，0)处取得最大值当在A处取得最大值时，不等式组无解；当在B处取得最大值时，解
9、得a2.当a0.由 5x28x30x或x1，直线2xy20把单位圆分成如图所示的两部分当(x，y)在阴影部分内时，2xy20，则原式2xy26x3yx2y4，由线性规划可知，经过A时，原式取得最小值3.当(x，y)在另一部分内时，2xy20，则原式2xy26x3y3x4y8，由线性规划可知，经过A时，原式取得最小值3.综上，原式的最小值为3.E6基本不等式9B7、E6 设f(x)ln x，0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp Bprp Dprq9B r(f(a)f(b)ln(ab)lnp.因为ba0，所以，又函数f(x)在(0，)上单调递增，所以q
10、pr，故选B.14J3，E6 若的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小9B12，E6 如果函数f(x)(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为()A16 B18 C25 D.9B (1)当m2时，f(x)(n8)x1，则0n8，所以0mn16.(2)m2时，抛物线的对称轴为x.根据题意得2，即2mn12，所以6，所以mn18(当且仅当m3，n6时取等号)(3)当m2时，由题意得，即2nm18，所以9，所以mn，由2nm18，且2nm，得m9(舍去)要使得mn取得最大值，应有2nm18(m2，n8)，所以mn(182n)n(1828)816.综上所述，m
11、n的最大值为18.14F4、E6 在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_14. 根据题意，可知DC1，()()()()112，当且仅当时，等号成立E7 不等式的证明方法22B3、M3、E7 已知数列an的各项均为正数，bnnan(nN)，e为自然对数的底数(1)求函数f(x)1xex的单调区间，并比较与e的大小；(2)计算，由此推测计算的公式，并给出证明；(3)令cn(a1a2an)，数列an，cn的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn0，即x0时，f(x)单调递增；当f(x)0时，f(x)单调递减故f(x)的单调
12、递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)当x0时，f(x)f(0)0，即1xex.令x，得1e，即e.(2)1112；22(21)232；323(31)343.由此推测：(n1)n.下面用数学归纳法证明.(i)当n1时，左边右边2，成立(ii)假设当nk时，成立，即(k1)k.当nk1时，bk1(k1)ak1，由归纳假设可得(k1)k(k1)(k2)k1.所以当nk1时，也成立根据(i)(ii)，可知对一切正整数n都成立(3)证明：由cn的定义，算术几何平均不等式，bn的定义及得Tnc1c2c3cn(a1)(a1a2)(a1a2a3)(a1a2an)b1b2bnb1b2bna1a2anea1
13、ea2eaneSn，即TneSn.18B3、B5、E7 已知函数f(x)x2axb(a，bR)，记M(a，b)是|f(x)|在区间上的最大值(1)证明：当|a|2时，M(a，b)2；(2)当a，b满足M(a，b)2时，求|a|b|的最大值18解：(1)证明：由f(x)b，得f(x)的图像的对称轴为直线x.由|a|2，得1，故f(x)在上单调，所以M(a，b)max|f(1)|，|f(1)|当a2时，由f(1)f(1)2a4，得maxf(1)，f(1)2，即M(a，b)2.当a2时，由f(1)f(1)2a4，得maxf(1)，f(1)2，即M(a，b)2.综上，当|a|2时，M(a，b)2.(2
14、)由M(a，b)2得，|1ab|f(1)|2，|1ab|f(1)|2，故|ab|3，|ab|3，由|a|b|得|a|b|3.当a2，b1时，|a|b|3，且|x22x1|在上的最大值为2，即M(2，1)2.所以|a|b|的最大值为3.22D3、E1、E7 在数列an中，a13，an1anan1a0(nN)(1)若0，2，求数列an的通项公式；(2)若(k0N，k02)，1，证明：2ak010，归纳可得3a1a2anan10.因为an1an，所以ak01a1(a2a1)(ak01ak0)a1k02k0个2.另一方面，由上已证的不等式知a1a2ak0ak012，得ak01a1k02k0个2.综上，
15、2ak010(ab)的解集为，则的最小值是()A2 B.C2 D18A 由一元二次不等式ax22xb0的解集为，得所以ab1且a0.又已知ab，所以(ab)2，当且仅当ab时取等号所以的最小值是2.3 设a，b是实数，则“ab1”是“ab”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3A 因为a，所以若ab1，则a0，故充分性成立；当a，b时，显然不等式ab成立，但ab1不成立，所以必要性不成立故选A. 5 若正数a，b满足1，则的最小值为()A16 B25C36 D495A 因为a0，b0，1，所以abab，则4b16a20.又4b16a4(b4a)204204236，当且仅当且1，即a，b3时取等号，所以362016.9 已知点P(x，y) 满足条件(k为常数)，若zx3y的最大值为8，则k_96 画出x，y满足的可行域，如图中阴影部分所示联立得即A.因此，目标函数z在点A处取得最大值，所以38，所以k6.12 已知存在实数x，y满足约束条件 则R的最小值是_122 根据约束条件 作出可行域如图中阴影部分所示由题知图中阴影部分与以(0，1)为圆心、R为半径的圆有交点，当圆与图中阴影部分相切时R最小，由图易知，R的最小值为2.