1、第四节 数列求和、数列的综合应用知识点一求数列前n项和的方法1.公式法na12.倒序相加法如果一个数列an，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的.3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的.4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.5.分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和
2、后相加减.6.并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.一种思路：一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.两种方法：分组转化求和法；并项求和法.(2)将一般数列设法转化为等差或等比数列，再分别求和若函数an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为_.答案2n12n2(3)形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解已知数列an的 前 n项 和 为 Sn，通 过 公 式 an(1)n 1n，则 S17_.解
3、析 S171234561516171(23)(45)(1415)(1617)11119.答案9知识点二数列的综合应用1.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑是an与an1之间的递推关系，还是Sn与Sn1之间的递推关系.2.解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问
4、题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么.(3)求解求出该问题的数学解.(4)还原将所求结果还原到实际问题中.一个易错点：在数列的实际应用问题中，要提炼出数列的各基本量，尤其项数n容易出错.(4)某看台共有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则该看台的总座位数为_.答案820错位相减法求和方略(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.(1)
5、求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.点评用错位相减法求和时容易出现以下两点错误：(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号，(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n1项和当作n项和.裂项相消法求和方略(3)常见的裂项方法(其中n为正整数)点评利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.数列与函数综合问题的解题策略(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.(2)已知
6、数列条件、解决函数问题一般要充分利用数列的范围公式、求和方法对式子化简变形，另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解.点评解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理.数列的实际应用方法点评现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决.在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论：二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解.