1、选修1-1 3.3.3导数的实际应用一、选择题1如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A()3 B()3C()3 D.()3答案A解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r2hl，h，Vr2hr22r3(0r0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为()3.2若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为()A2r2 Br2C4r D.r2答案A解析设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则由组合体的知识得h2(2x)2(2r)2，又圆柱的侧面积S2xh，S2162(r2x2x4)，(S2)162(2r2x4x3)，由(S2)0，得xr(x0舍去)，Smax2r2
2、，故选A.3设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A. B.C. D2答案C解析设底面边长为x，侧棱长为l，则Vx2sin60l，l，S表2S底3S侧x2sin603xlx2，S表0，x34V，即x.又当x(0，)时y0，当x时，表面积最小4某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系式R(x)则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A150 B200C250 D300答案D解析总利润P(x)由P(x)0，得x300，故选D.5函数y(x1)4的单调递增区间为()A(，1)B(1，)C(1,1)
3、D(4，)答案B解析y4(x1)3，令y0得x1，函数y(x1)4的单调递增区间为(1，)，故选B.6函数yx33ax6的单调递减区间是()A(，) B(，)C(，) D以上都不对答案A解析y3x23a3(x2a)当a0时y0恒成立，函数yx33ax6在(，)上是增函数，当a0时，令x2a0得x或x，函数yx33ax6在(，)和(，)上是增函数，令x2a0得x，函数yx33ax6在(，)上是减函数，故应选A.7(2008广东)设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1Ca Da答案A解析yexax，yexa当a0时，y不可能有极值点，故a0，即ln(a)ln1.a1.8把长为
4、12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()A.cm2 B4 cm2C3cm2 D2cm2答案D解析设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4x)cm，两个三角形的面积和为Sx2(4x)2x22x4.令Sx20则x2，所以Smin2.二、填空题9有一条长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为_m2.答案16解析设矩形场地的长为xm，则宽为(8x)m，其面积Sx(8x)8xx2，S82x，令S0得x4，当x4时，S取极大值，这个极大值就是最大值，故当矩形场地的长为4m，宽为4m时，面积取最大值16m2.10yx42
5、x25在2,2上的最大值为_答案13解析y4x34x4x(x1)(x1)，令y0得x0，x1，x1，列表如下：x2(2，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2y000y13极小值4极大值5极小值413由上表可知，函数yx42x25在2,2上的最大值为13.11用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为_答案8cm解析设截去的正方形的边长为xcm，则铁盒的底面边长为(482x)cm，铁盒的体积为V，由题意，得Vx(482x)2(0x0)，则L2.令L0，得x16.x0
6、，x16.当x16时，L极小值Lmin64，堆料场的长为32米13某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大答案115解析利润为S(x)(x30)(200x)x2230x6000，S(x)2x230，由S(x)0得x115，这时利润达到最大14把长60cm的铁丝围成矩形，当长为_cm，宽为_cm时，矩形面积最大答案1515解析设矩形的长为xcm，则宽为(30x)cm(0x30)，矩形的面积Sx(30x)30xx2，S302x2(15x)，令S0得x15，当0x0，当15x30时S0，当x15时，S取极大值，这个极大值就是最
7、大值，故当矩形长为15cm，宽为15cm时面积最大三、解答题15某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3)(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改选经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为x3x23x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大(注：收益销售额投入)解析(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)t
8、t24t(t2)24(0t3)，所以当t2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元)，由此获得收益是g(x)(百万元)则g(x)(x3x23x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，所以g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又当0x0；当2x3时，g(x)0.所以当x2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的收益最大16用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊
9、接成水箱问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？解析设水箱底边长为xcm，则水箱高为h60(cm)水箱容积VV(x)x2h60x2(0x120)(cm3)V(x)120xx2.令V(x)0，得x0(舍)或x80.当x在(0,120)内变化时，导数V(x)的正负如下表：x(0,80)80(80,120)V(x)0因此在x80cm处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值将x80代入V(x)，得最大容积V80260128000.答：水箱底边长取80cm时，容积最大最大容积为128000cm3.17横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比，并和高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则断面的高和宽各应是多少？解析如右图所示，设断面的宽为x，高为y，则当函数xy2取得最大值时横梁的强度最大又因为y2d2x2，所以f(x)xy2x(d2x2)(0xd)，所以f(x)d23x2，令f(x)0，得x .根据实际情况，当x偏小(接近于0)或偏大(接近d)时，强度很小，因此f()为强度的极大值且同时为最大值所以横梁锯成宽d，高d时，横梁的强度最大
