1、课时评价作业基础达标练1.（2021山东潍坊诸城一中高二月考）已知以两坐标轴为对称轴的椭圆E的一个长轴端点M及一个短轴端点N在直线y=-2x+4上.（1）求椭圆E的离心率;（2）若P是椭圆E上一点（异于M,N）,求PMN面积的最大值.答案：（1）在y=-2x+4中,令x=0 ,得y=4 ,M(0,4) .令y=0 ,得x=2 ,N(2,0) .椭圆E的焦点在y轴上,得a=4,b=2,c=a2-b2=23 ,故椭圆E的离心率e=ca=32 .（2）由（1）得椭圆E的标准方程为y216+x24=1 ,设与直线MN平行且与椭圆相切的直线l的方程为y=-2x+m(m4) ,由y=-2x+m，4x2+y
2、2=16得8x2-4mx+m2-16=0 ,由=16m2-32(m2- 16)=0,解得m=42 ,记P到直线MN的距离为d ,则易知SPMN=12|MN|d=5d ,要使SPMN最大,只需d最大即可,此时m=-42 ,则直线l的方程为y=-2x-42 ,易知直线MN的方程为y=-2x-4 ,所以直线l与直线MN的距离d=|4+42|5 ,故(SPMN)max=5|4+42|5=4(1+2) .2.已知两点A(2,0),B(0,1)在椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)上,P(x,y)为椭圆C上的动点,O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程;（2）将|OP|表示为x的函数,并求|OP|的取值范
3、围.答案：（1）由题意可知a=2,b=1 ,所以椭圆C的方程为x24+y2=1 .（2）由点P(x,y)在椭圆C上,可得x24+y2=1,且0x24 .则|OP|=x2+y2=x2+1-x24=1+3x24 .由0x24,得03x243,可得11+3x244,所以1|OP|2 ,故|OP|的取值范围为1,2 .3.已知直线l：y=kx-2与抛物线C：x2=-2py(p0)交于A、B两点,O为坐标原点,OA+OB=(-4,-12) .（1）求直线l和抛物线C的方程;（2）抛物线上一动点P从A运动到B时,求点P到直线l的距离的最大值,并求此时点P的坐标答案：（1）由y=kx-2，x2=-2py得x
4、2+2pkx-4p=0 ,设A(x1,y1),B(x2,y2) ,则x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4, ,所以OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=(-2pk,-2pk2-4)=(-4,-12),所以-2pk=-4，-2pk2-4=-12，解得p=1,k=2.所以直线l的方程为y=2x-2 ,抛物线C的方程为x2=-2y .（2）由y=2x-2，x2=-2y，得x2+4x-4=0 ,解得x=-2-22或x=-2+22 ,设P(t,-12t2)(-2-22t-2+22) ,则P到直线l的距离d=|2t+12t2-2|22+(-1)2=|12(t+2)2-4
5、|5,因为-2-22t-2+22 ,所以当t=-2时,dmax=455 ,此时点P的坐标为(-2,-2).素养提升练4.（2020山东实验中学高二月考）已知点F为椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个端点构成一个等边三角形,直线x4+y2=1与椭圆E有且仅有一个交点M .（1）求椭圆E的方程;（2）设直线x4+y2=1与y轴交于点P ,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B ,若|PM|2|PF|2=|PA|PB| ,求实数的取值范围.答案：（1）由题意,得a=2c,b=3c ,则椭圆E的方程为x24c2+y23c2=1 ,由x24+y23=c2，x4+y2
6、=1，得x2-2x+4-3c2=0 ,因为直线x4+y2=1与椭圆E有且仅有一个交点M ,所以=4-4(4-3c2)=0 ,解得c2=1 ,所以椭圆E的方程为x24+y23=1 .（2）由题意知P(0,2) ,由（1）易知M(1,32),F(1,0) ,所以|PM|2=54,|PF|2=5 .当直线l与x轴垂直时,|PA|PB|=(2+3)(2-3)=1 ,由|PM|2|PF|2=|PA|PB| ,得=425 ;当直线l与x轴不垂直时,设直线方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2) ,联立y=kx+2,3x2+4y2-12=0,得(3+4k2)x2+16kx+4=0 ,则x1x2=43+4k2,=48(4k2-1)0,即k214.所以|PA|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)43+4k2=254 ,所以=425(1+13+4k2) ,因为k214,所以42515 .综上,实数的取值范围为(425,15) .
