1、课时评价作业基础达标练1.（2020广东汕尾田家炳中学高二期中）已知抛物线的方程为y2=4x ,直线l过定点P(-2,1) ,斜率为k ,问k为何值时,直线l与抛物线y2=4x（1）只有一个公共点;（2）有两个公共点;（3）没有公共点.答案：（1）设直线l的方程为y-1=k（x+2） ,即y=k（x+2）+1 .联立y=k(x+2)+1,y2=4xk2x2+4k2+2k-4x+4k2+4k+1=0直线与抛物线只有一个公共点,等价于方程k2x2+(4k2+2k-4)x+4k2+4k+1=0只有一个根.当k=0时,-4x+1=0 ,符合题意.当k0时,=(4k2+2k-4)2-4k2(4k2+4k
2、+1)=0 ,整理得2k2+k-1=0 ,解得k=12或k=-1 .综上可得,k=0或k=12或k=-1.（2）直线与抛物线有两个公共点,等价于方程k2x2+(4k2+2k-4)x+4k2+4k+1=0有两个根.所以k0,=(4k2+2k-4)2-4k2(4k2+4k+1)0,即2k2+k-10 ,解得-1k12且且k0 .（3）直线与抛物线没有公共点,等价于方程k2x2+(4k2+2k-4)x+4k2+4k+1=0无根.所以k0,=(4k2+2k-4)2-4k2(4k2+4k+1)0,即2k2+k-10 ,解得k12或k-1 .2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴的上端点B与两
3、个焦点F1(-2,0)、F2(2,0)构成一个等边三角形.（1）求椭圆的方程;（2）若过点F1、B的直线与椭圆的另一个交点为M ,求弦长|MB| .答案：（1）由题意得c=2,|BF1|=a=2c=4,所以b2=42-22=12 ,所以椭圆的方程为x216+y212=1 .（2）由（1）得B(0,23) ,所以直线BF1的斜率为23-00+2=3 ,所以直线BF1的方程为y=3x+23 ,联立3x2+4y2=48，y=3x+23，得5x2+16x=0 ,设M(x,y) ,则0+x=-165 ,所以x=-165 ,所以弦长|MB|=1+(3)2(-165)2-0=325 .3.设椭圆x2a2+y
4、2b2=1(ab0)的短轴长为4,离心率为32 .（1）当直线y=x+m与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;（2）设点M(2,1)是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点,求直线l的方程.答案：（1）因为离心率e=ca=32,所以c2=34a2,又因为椭圆的半短轴长b=2,a2-b2=c2 ,所以a2=16,b2=4,即椭圆方程为x216+y24=1,联立x216+y24=1，y=x+m，整理得5x2+8mx+4m2-16=0 ,因为直线y=x+m与椭圆有公共点,所以=64m2-45(4m2-16)0,即m220 ,解得-25m25 .所以实数m的取值范围是-25,25 .（2）设A(x1,y1
5、),B(x2,y2) ,由题意可知,M(2,1)在椭圆内,过点M(2,1)的直线l与椭圆有两个交点,根据椭圆的对称性可确定直线l的斜率一定存在.则x12+4y12=16x22+4y22=16x1-x2x1+x2+4y1-y2y1+y2=0整理得y1-y2x1-x2=x1+x2-4(y1+y2)=-12 .所以斜率k=-12 ,所以直线l的方程为y-1=-12(x-2) ,即x+2y-4=0 .4.（2021山东滨州高二期中）已知点A(0,-2) ,椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为2,O为坐标原点.（1）求E的方程;（2）设过点P(0,
6、-3)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点M、N ,且|MN|=827 ,求k的值.答案：（1）离心率e=ca=22 ,则a=2c ,设F(c,0) ,则直线AF的斜率为0-(-2)c-0=2 ,则c=1,a=2 ,b2=a2-c2=1,椭圆E的方程为x22+y2=1 .（2）由题意得直线l:y=kx-3 ,设M(x1,y1),N(x2,y2),联立y=kx-3，x22+y2=1，整理得(1+2k2)x2-43kx+4=0，则=(-43k)2-44(1+2k2)0,即k21,x1+x2=43k1+2k2,x1x2=41+2k2,|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4
7、x1x2=1+k2(43k1+2k2)2-161+2k2=4(1+k2)(k2-1)1+2k2=827,即17k4-32k2-57=0 ,解得k2=3或k2=-1917（舍去）,k=3 .素养提升练5.（2021天津红桥高二期中）已知F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右两个焦点,|F1F2|=4 ,长轴长为6,A、B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点,且满足AF1=2BF2 .（1）求椭圆C的方程;（2）求四边形ABF2F1的面积.答案：（1）由题意知2a=6,2c=4,所以a=3,c=2,所以b=a2-c2=5，所以椭圆C的方程为x29+y25=1 .（2）设A(x
8、1,y1),B(x2,y2) ,易知F1(-2,0)、F2(2,0),所以AF1=(-2-x1,-y1),BF2=(2-x2,-y2),由AF1=2BF2,可得-2-x1=2(2-x2),-y1=-2y2,所以y1=2y2 .延长AB交x轴于H ,如图.因为AF1=2BF2,所以AF1BF2,且|AF1|=2|BF2|,所以线段BF2为AF1H的中位线,即F2为线段F1H的中点,所以H(6,0).设直线AB的方程为x=my+6 ,联立x=my+6，x29+y25=1，消去x并整理得(5m2+9)y2+60my+135=0 ,=602m2-4135(5m2+9)=180(5m2-27)0,解得m
9、3155 .由根与系数的关系可得y1+y2=-60m5m2+9=3y2,y1y2=1355m2+9=2y22,则y2=-20m5m2+9 ,所以2y22=2(-20m5m2+9)2=1355m2+9,可得m2=27925 ,结合题意可得m=-935 ,所以S四边形ABF2F1=SAF1H-SBF2H=12|F1H|y1-12|F2H|y2=4y1-2y2=8y2-2y2=6y2=-120m5m2+9=1534 .6.如图,圆M:(x+3)2+y2=16,N(3,0)是圆M内的一个定点,P是圆上任意一点,线段PN的垂直平分线l和圆的半径MP相交于点Q ,当点P在圆M上运动时,点Q的轨迹为曲线E
10、.（1）求曲线E的方程;（2）已知抛物线y2=-12x ,是否存在直线m与曲线E交于G,H两点,使得线段GH的中点F落在直线y=2x上,并且与抛物线相切？若存在,求出直线m的方程;若不存在,说明理由.答案：（1）由题意可知,点Q在线段PN的垂直平分线上,所以|QN|=|QP| ,因为|QM|+|QP|=r=4 ,所以|QM|+|QN|=4|MN|，所以点Q的轨迹是以点M,N为焦点的椭圆,且2a=4 ,即a=2 ,由题意可知c=3 ,所以b=1 ,所以曲线E的方程为x24+y2=1 .（2）存在.若直线m的斜率存在,设G(x1,y1),H(x2,y2) ,则x124+y12=1，x224+y22
11、=1，两式作差可得(x1+x2)(x1-x2)4+(y1+y2)(y1-y2)=0若线段GH的中点F落在直线y=2x上,则有y1+y2=2(x1+x2),代入可得y1-y2x1-x2=-18,则直线的方程可以设为y1+y2=2(x1+x2), ,联立y2=-12xy=-18x+b消元可得y2-4y+4b=0 ,因为直线与抛物线相切,所以=16-16b=0 ,所以b=1 ,则直线的方程为x+8y-8=0 ,与椭圆方程联立x24+y2=1，x+8y-8=0，消元可得17y2-32y+15=0,则=(-32)2-417150,所以直线x+8y-8=0满足题意.若直线m的斜率不存在,则直线m:x=0 ,满足题意.综上,直线m存在,方程是x+8y-8=0或x=0 .
