1、第21讲 不等式选讲基础过关1.已知函数f(x)=|2x+1|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若对任意的xR,f(x2)a|x|恒成立,求实数a的最大值.2.已知函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.(1)求不等式f(x)0的解集;(2)若关于x的不等式|2m+1|f(x+3)+3|x+5|有解,求实数m的取值范围.3.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.4.已知函数f(x)=|2x-1|-3|x+1|,设f(x)的最大值为M.(1)求M;(2)若正实数a,b
2、满足1a3+1b3=Mab,证明:a4b+ab443.能力提升5.已知函数f(x)=x|x-a|,aR.(1)若f(1)+f(-1)1,求a的取值范围;(2)若a0,对任意的x,y(-,a,不等式f(x)y+54+|y-a|恒成立,求a的取值范围.6.已知a,b,c为正实数,且满足a+b+c=1.证明:(1)a-12+|b+c-1|12;(2)(a3+b3+c3)1a2+1b2+1c23.限时集训(二十一)1.解:(1)由f(x)1,可得|2x+1|1,即-12x+11,解得-1x0,所以原不等式的解集为-1,0.(2)对任意的xR,f(x2)a|x|恒成立,即对任意的xR,2x2+1a|x|
3、恒成立.当x=0时,aR;当x0时,a2x2+1|x|=2|x|+1|x|,因为2|x|+1|x|22,当且仅当2|x|=1|x|,即|x|=22时等号成立,所以a22.综上可得a22,即实数a的最大值为22.2.解:(1)由已知得f(x)=x-3,x12,-3x-1,-2x0,得x3;当-2x0,得-2x0时,得x-2.综上可得,不等式f(x)0的解集为-,-13(3,+).(2)依题意得,|2m+1|f(x+3)+3|x+5|min.令g(x)=f(x+3)+3|x+5|=|2x+5|+|2x+10|-2x-5+2x+10|=5,|2m+1|5,解得m2或m-3,即实数m的取值范围是(-,
4、-32,+).3.解:(1)当a=1时,f(x)1可化为|x+1|-2|x-1|-10.当x-1时,不等式化为x-40,无解;当-1x0,解得23x0,解得1x1的解集为x23x2.(2)由题设可得,f(x)=x-1-2a,xa,所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)26,故a2,所以a的取值范围为(2,+).4.解:(1)函数f(x)=|2x-1|-3|x+1|=|2x-1|-|2x+2|-|x+1|2x-1-2x-2|-|-1+1|=3,当x=-1时,f(x)取得
5、最大值3,即M=3.(2)证明:由(1)知正实数a,b满足1a3+1b3=3ab,故a4b+ab4=ab(a3+b3)=131a3+1b3(a3+b3)=131+1+a3b3+b3a3132+2a3b3b3a3=43,当且仅当a=b=523时等号成立,故a4b+ab443.5.解:(1)f(1)+f(-1)=|1-a|-|1+a|1.若a-1,则1-a+1+a1,得21,即a-1时不等式恒成立;若-1a1,得a-12,即-1a1,得-21,此时不等式无解.综上所述,a的取值范围是-,-12.(2)由题意知,要使不等式恒成立,则f(x)maxy+54+|y-a|min.当x(-,a时,f(x)=
6、-x2+ax,f(x)max=fa2=a24.因为y+54+|y-a|a+54,所以当y-54,a时,y+54+|y-a|min=a+54=a+54,于是a24a+54,解得-1a5.又a0,所以a的取值范围是(0,5.6.证明:(1)a,b,c为正实数,且满足a+b+c=1,b+c-1=-a0,a-12+|b+c-1|=a-12+|-a|a-12+(-a)=12,当且仅当a-12(-a)0,即0a12时,等号成立,a-12+|b+c-1|12.(2)(a3+b3+c3)1a2+1b2+1c23abc1a2+1b2+1c2=3bca+3acb+3abc=322bca+2acb+2abc=32acb+bc+bca+ac+cab+ba322acbbc+2bcaac+2cabba=3(a+b+c)=3,当且仅当a=b=c=13时等号成立,(a3+b3+c3)1a2+1b2+1c23.