1、第六节空间向量及其运算【最新考纲】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直1空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在R，使ab(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数
2、对(x，y)，使pxayb(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使得pxaybzc其中a，b，c叫做空间的一个基底3两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)对任意两个空间向量a，b，若ab0，则ab.()(3)若
3、a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量()(4)若ab0，则a，b是钝角()答案：(1)(2)(3)(4)2如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcB.abcCabcDabc解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，()cab.答案：C3已知a(2，1，3)，b(1，2，1)，若a(ab)，则实数的值为()A2BC.D2解析：由题意a(ab)0，即a2ab0，又a214，ab7，1470，2.答案：D4(2014广东卷)已知向量a(1，0，1)，则下面向量中与向量a成60夹角的是()A(1，1，
4、0) B(1，1，0)C(0，1，1) D(1，0，1)解析：对于选项B，设b(1，1，0)ab(1，0，1)(1，1，0)1，且|a|b|，cosa，b，向量a与向量(1，1，0)的夹角为60.答案：B5有下列命题：若pxayb，则p与a，b共面；点O，A，B，C为空间四点，且向量，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量ab，ab，c也是空间的一个基底若P，M，A，B共面，则xy.则其中正确的命题序号是_解析：显然正确对于若ab，ab，c不是空间的一个基底，则cx(ab)y(ab)a(xy)b(xy)c与a，b共面，与向量a，b，c是空
5、间的一个基底矛盾，因此正确中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则xy不正确答案：一种意识基底意识用向量解决立体几何问题应树立“基底”意识两种方法基向量法和坐标法用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解三个注意点利用向量解决立体几何问题应注意的问题1注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误；2注意向量夹角与两直线夹角的区别；3注意向量共线与两直线平行与重合的区别一、选择题1在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直B平行C异面 D相交但不垂直解析：由题意得，(3，
6、3，3)，(1，1，1)，3，与共线，又与没有公共点ABCD.答案：B2空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A.D.与的大小不能比较解析：取BD的中点F，连接EF，则EFCD.因为AEBC，90.所以0，.答案：C3(2016洛阳模拟)O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点()A一定不共面 B一定共面C不一定共面 D无法判断解析：，且1.所以P，A，B，C四点共面答案：B4已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A1B.C.D.解析：由题意得，kab(k1，k，2)，2ab(3，2，2)，所以(kab)(2ab)3(k
7、1)2k225k70，解得k.答案：D5(2016泰安模拟)在空间四边形ABCD中，则的值为()A1 B0 C1 D2解析：如图，令a，b，c.则a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.答案：B6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.aC.a D.a解析：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)设M(x，y，z)点M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.M，| a.答案：A二、填空题7已知a(2，1，3)，b(1，2，3)，c
8、(7，6，)，若a，b，c三向量共面，则_解析：由题意知cxayb，即(7，6，)x(2，1，3)y(1，2，3)，解得9.答案：98已知2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为_解析：由题意得，(2ab)c0102010.即2acbc10，又ac4，bc18，cosb，c，b，c120，两直线的夹角为60.答案：609已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是_解析：由题意，设，即(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(
9、32)(22)6216106，当时有最小值，此时Q点坐标为.答案：三、解答题10已知空间中三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值解：(1)c，(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，|c|3|m|3，m1.c(2，1，2)或(2，1，2)(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.11如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心(1)试证：A1，G，C三点共线；(2)试证：A1C平面BC1D.证明：(1)，可以证明：()，即A1，G，C三点共线(2)设a，b，c，则|a|b|c|a，且abbcca0，abc，ca，(abc)(ca)c2a20，因此，即CA1BC1，同理CA1BD，又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线，故A1C平面BC1D.