1、模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否定为“若x21,则x1”B.若pq为真命题,则p,q均为真命题C.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件D.命题“若x=y,则x2=y2”的逆否命题为真命题答案D2.若ab,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)(a-b),则等于()A.B.-C.D.1答案A3.“x2”是“1)与双曲线C2:-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心
2、率,则()A.mn,且e1e21B.mn,且e1e21C.m1D.mn,且e1e21答案A7.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.答案A8.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m等于()A.B.2C.D.3答案A9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是()A.B.C.D.答案B10.方程=|x+y+2|表示的曲线是()A.椭圆B.双曲线C.线段D.抛物线答案D1
3、1.已知F1,F2为双曲线=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线上,则|AP|+|AF2|的最小值为()A.+4B.-4C.-2D.+2答案C12.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论错误的是()A.ACBEB.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.异面直线AE,BF所成的角为定值答案D二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知p:0,q:x2-4x-50)上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6,则抛物线方程为.答案y2=4x或y2=36x15.在正
4、四面体P-ABC中,棱长为2,且E是棱AB中点,则的值为.答案-116.已知F1,F2为椭圆=1的左、右焦点,M为椭圆上一点,且MF1F2内切圆的周长等于3,若满足条件的点M恰好有2个,则a2=.答案25三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分10分)已知p:方程=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆;q:实数t满足不等式t2-(a-1)t-at+10.解得-1t1.即实数t的取值范围为t|-1t1.(2)p是q的充分不必要条件,-1t1是不等式t2-(a-1)t-a=(t+1)(t-a)1.方法二:令f(t)=t2-(a-1)t-a,f(-
5、1)=0,故只需f(1)1,a的取值范围为a|a1.18.(满分12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2.(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值;(2)求点P到平面DEF的距离.解(1)如图所示,以A为原点,AB,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz.由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,0,0,E,0,F.设平面DEF的法向量n=(x,y,z),则解得取z=1,则平面DEF的一个法向量n=(2,0,1
6、).设PA与平面DEF所成的角为,则sin =,故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.(2),n=(2,0,1),点P到平面DEF的距离d=.19.(满分12分)已知双曲线的方程为2x2-y2=2.(1)求以点A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程;(2)过点B(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于Q1,Q2两点,且点B是弦Q1Q2的中点?如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由.解(1)设以点A(2,1)为中点的弦的两端点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有x1+x2=4,y1+y2=2,x1x2.由P1,P2在双曲线上,得2=2,2=2,两式相减,得2(x
7、1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.则24(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即=4,故中点弦所在的直线方程为y-1=4(x-2),即4x-y-7=0.(2)假设直线l存在,可利用(1)中的方法求出直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.联立方程,得消去y,得2x2-4x+3=0,=16-24=-80)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.解(1)由题意可得,抛物线上的点A到焦点F的距离等
8、于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由消去x,得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以B.又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-.从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-,所以N.设M(m,0),由A,M,N三点共线,得,于是m=.所以m2.经检验,m2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).21.(满分12分)如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QA=AB=PD
9、.(1)证明:平面PQC平面DCQ;(2)求平面QBP与平面BPC所成角的余弦值.(1)证明如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz.设DA=1,则D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).=0,=0,即PQDQ,PQDC,又DQDC=D,PQ平面DCQ.又PQ平面PQC,平面PQC平面DCQ.(2)解由题意得B(1,0,1),=(1,0,0),=(-1,2,-1).设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,则因此可取平面PBC的一个法向量为n=(0,-1,-2).同理可得平面BPQ的一个法向量为m=(1
10、,1,1).cos=-.故平面QBP与平面BPC所成角的余弦值为.22.(满分12分)已知椭圆C1:=1(ab1)的离心率为,其右焦点到直线2ax+by-=0的距离为.(1)求椭圆C1的方程;(2)过点P的直线l交椭圆C1于A,B两点.证明:线段AB的中点G恒在椭圆C2:=1的内部;判断以AB为直径的圆是否恒过定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.(1)解e=,a=c.又a2=b2+c2,c=b.右焦点(c,0)到直线2ax+by-=0的距离为.整理,得|2b2-1|=b,解得b=1或.ab1,b=1,a2=2.故椭圆C1的方程为+y2=1.(2)证明椭圆C2的方程为+x2=1,当直
11、线l垂直于x轴时,线段AB的中点为原点,显然在C2内;当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为y=kx-,代入+y2=1,并整理,得(1+2k2)x2-kx-=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)-=-,G.1恒成立,点G恒在椭圆C2内部.解当ABx轴时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1;当ABy轴时,以AB为直径的圆的方程为x2+,由可得由此可知:若以AB为直径的圆恒过定点,则该定点必为Q(0,1),下面证点Q(0,1)符合题意.由知,x1+x2=,x1x2=-,=(x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=k=0,故,即点Q(0,1)在以AB为直径的圆上.综上,以AB为直径的圆恒过定点(0,1).
