1、第15讲 圆锥曲线中的定量问题基础过关1.如图X15-1,点A(-1,0),B(1,-1)和抛物线C:y2=4x,过点A的动直线l交抛物线于M,P两点,直线MB交抛物线C于另一点Q,O为坐标原点.(1)求OMOP;(2)证明:直线PQ恒过定点.图X15-12.已知动点P到点F(1,0)的距离与它到直线l:x=4的距离d的比值为12,设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程.(2)过点Q(2,3)的直线l1与C交于E,F两点,已知点D(2,0),直线x=x0分别与直线DE,DF交于点S,T,问:线段ST的中点M是否在定直线上?若是,求出该直线的方程;若不是,请说明理由.3.在平面直角坐标系x
2、Oy中,中心在原点的椭圆C经过点-332,1,其右焦点与抛物线y2=45x的焦点重合.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点M(m,0)为长轴上的一个动点,过点M作斜率为23的直线l交椭圆C于A,B两点,试证明|MA|2+|MB|2为定值.4.已知椭圆E的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为32,F1,F2分别为椭圆E的左、右焦点,点P在椭圆E上,以线段F1F2为直径的圆经过点P,线段F1P与y轴交于点B,且|F1P|F1B|=6.(1)求椭圆E的方程;(2)设动直线l与椭圆E交于M,N两点,且OMON=0.求证:动直线l与圆x2+y2=45相切.能力提升5.已知F1(-1,0),F2(1,
3、0)分别为椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过F2的直线交椭圆于A,B两点,F1AB的周长为8.(1)求椭圆的方程.(2)已知P(x0,y0)(y00)是直线l:x=4上一动点,若直线PA,PB与x轴分别交于点M(xM,0),N(xN,0),则1xM-1+1xN-1是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.6.如图X15-2,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点P(2,1),F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,且PF1PF2=-1.(1)求椭圆C的方程.(2)过P点的直线l1与椭圆C有且只有一个公共点,直线l2平行于OP(O为原点),且与椭圆C交于两点A,
4、B,与直线x=2交于点M(M介于A,B两点之间).(i)当PAB的面积最大时,求直线l2的方程;(ii)证明|PA|MB|=|PB|MA|,并判断直线l1,l2,PA,PB的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列.图X15-2限时集训(十五)1.解:(1)设点My124,y1,Py224,y2,因为P,M,A三点共线,所以kAM=kPM,即y1y124+1=y1-y2y124-y224,即y1y12+4=1y1+y2,所以y1y2=4,故OMOP=y124y224+y1y2=5.(2)证明:设点Qy324,y3,因为M,B,Q三点共线,所以kBQ=kQM,即y3+1y324-1=y1-y3y124
5、-y324,即y3+1y32-4=1y1+y3,化简得y1y3+y1+y3+4=0.由(1)知y1y2=4,所以y1=4y2,即4y2y3+4y2+y3+4=0,得4(y2+y3)+y2y3+4=0.因为kPQ=y2-y3y224-y324=4y2+y3,所以直线PQ的方程为y-y2=4y2+y3x-y224,即(y-y2)(y2+y3)=4x-y22,即y(y2+y3)-y2y3=4x,由得-y2y3=4(y2+y3)+4,代入可得(y+4)(y2+y3)=4(x-1),所以直线PQ恒过定点(1,-4).2.解:(1)设P(x,y),由题意得|PF|d=(x-1)2+y2|x-4|=12,化
6、简整理得x24+y23=1,即曲线C的方程为x24+y23=1.(2)设直线l1的方程为x=ty+(2-3t),E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0),S(x0,yS),T(x0,yT),则直线DE的方程为y=y1x1-2(x-2),得yS=y1x1-2(x0-2),同理可得yT=y2x2-2(x0-2),所以2y0=yS+yT=y1x1-2(x0-2)+y2x2-2(x0-2),即2y0x0-2=y1x1-2+y2x2-2=2y1y2-3(y1+y2)ty1y2-3(y1+y2)+3.由x=ty+(2-3t),3x2+4y2-12=0,得(3t2+4)y2+(12t-63t2)
7、y+9t2-123t=0,所以y1y2=9t2-123t3t2+4,y1+y2=63t2-12t3t2+4,则2y0x0-2=29t2-123t3t2+4-363t2-12t3t2+4t(9t2-123t3t2+4-363t2-12t3t2+4+3)=-3,得3x0+2y0-23=0,所以点M在定直线3x+2y-23=0上.3.解:(1)由题意知椭圆C的左焦点F1(-5,0),右焦点F2(5,0).设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由274a2+1b2=1,a2-b2=5得a2=9,b2=4,故椭圆C的标准方程为x29+y24=1.(2)证明:由题意可设直线l的方程为y=2
8、3(x-m).联立y=23(x-m),x29+y24=1,消去y,得2x2-2mx+m2-9=0.因为=(-2m)2-8(m2-9)0,所以m(-32,32).因为点M(m,0)为椭圆C长轴上的一个动点,所以m(-3,3).此时0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=m,x1x2=m2-92.于是|MA|2+|MB|2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22=139(x1-m)2+139(x2-m)2=139(x12+x22)-269m(x1+x2)+269m2=139(x1+x2)2-2x1x2-269m(x1+x2)+269m2=13.故|MA|2+|MB|2为定值
9、13.4.解:(1)设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),|F1F2|=2c,连接F2P.BF1O=PF1F2,F1OB=F1PF2=2,F1BOF1F2P.|F1B|F1F2|=|F1O|F1P|,即|F1P|F1B|=|F1O|F1F2|=2c2=6,c=3.又e=ca=32,a=2.由a2=b2+c2,得b2=1.椭圆E的方程为x24+y2=1.(2)证明:当动直线l的斜率不存在时,设l的方程为x=t,M(t,y1),N(t,y2).由x=t,x24+y2=1得y2+t24-1=0.直线x=t与椭圆E交于M,N两点,方程y2+t24-1=0有两个不相等的实数根.t20,即4k
10、2+1-m20,且x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1.OMON=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2=(1+k2)(4m2-4)4k2+1-8m2k24k2+1+m2=0,化简得k2+1=5m24.可得原点O到直线l的距离d=|m|k2+1=|m|5m24=255,则直线l与圆x2+y2=45相切.综上所述,动直线l与圆x2+y2=45相切.5.解:(1)依题意得c=1,由椭圆的定义可得F1AB的周长为4a=8,即a=2,所以b=a2-c2=3,故椭圆的方程为x24+y23=1.(2)由题意设直线AB的方程为x=ty
11、+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=ty+1,x24+y23=1得(3t2+4)y2+6ty-9=0,显然0,则y1+y2=-6t3t2+4,y1y2=-93t2+4.又P(4,y0),则直线PA的方程为y-y0=y1-y0x1-4(x-4),令y=0得x=x1y0-4y1y0-y1,即Mx1y0-4y1y0-y1,0,同理Nx2y0-4y2y0-y2,0,则xM-1=x1y0-4y1y0-y1-1=y0(x1-1)-3y1y0-y1=y0ty1-3y1y0-y1=y1(ty0-3)y0-y1,同理xN-1=y2(ty0-3)y0-y2,故1xM-1+1xN-1=1ty0-3y0-
12、y1y1+y0-y2y2=1ty0-3(y1+y2)y0y1y2-2=1ty0-3-6t3t2+4-93t2+4y0-2=1ty0-32t3y0-2=23,所以1xM-1+1xN-1=23,为定值.6.解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c0),则PF1=(-c-2,-1),PF2=(c-2,-1),PF1PF2=-c2+4+1=-1,c=6.又P(2,1)在椭圆C上,故4a2+1b2=1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,故椭圆C的方程为x28+y22=1.(2)(i)由题知kOP=12,设l2的方程为y=12x+t(t0,得t24,故-2t0.又x1+x2=-2t,x1
13、x2=2t2-4,则|AB|=1+14(x1+x2)2-4x1x2=524t2-4(2t2-4)=5216-4t2=54-t2.点P到l2的距离d=|t|1+(12)2=2|t|5,SPAB=1254-t22|t|5=(4-t2)t2t2+(4-t2)2=2,当且仅当4-t2=t2,即t=-2时,等号成立.故PAB的面积最大时,直线l2的方程为y=12x-2.(ii)要证|PA|MB|=|PB|MA|,只需证|PA|MA|=|PB|MB|,由角平分线的性质可知,即证直线x=2为APB的平分线,转化成证明kPA+kPB=0.kPA+kPB=y1-1x1-2+y2-1x2-2=(12x1+t)-1(x2-2)+(12x2+t)-1(x1-2)(x1-2)(x2-2)=x1x2+(t-2)(x1+x2)-4(t-1)(x1-2)(x2-2)=2t2-4-2t(t-2)-4(t-1)(x1-2)(x2-2)=-4+4t-4t+4(x1-2)(x2-2)=0,因此|PA|MB|=|PB|MA|,得证.由l1与椭圆C有且只有一个公共点,知l1为椭圆C的切线.由x28+y22=1得y2=2-14x2,当0x22,0y0,则kPA=12,kPB=-12,此时直线PB与l1重合,不符合题意,故直线l1,l2,PA,PB的斜率无论怎样排序都不可能构成等比数列.