1、第三讲二项式定理知识梳理双基自测知识点一二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN)这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数C(k0,1,2，n)叫做_二项式系数_，式中的_Cankbk_叫做二项展开式的_通项_，用Tk1表示，即通项为展开式的第_k1_项：Tk1_Cankbk_知识点二二项展开式形式上的特点(1)项数为_n1_(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为_n_(3)字母a按_降幂_排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按_升幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n知识点三二项式系数的性质
2、(1)0kn时，C与C的关系是_CC_(2)二项式系数先增后减，中间项最大当n为偶数时，第1项的二项式系数最大；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大(3)各二项式系数的和：CCCC_2n_，CCCCCC_2n1_1二项式定理中，通项公式Tk1Cankbk是展开式的第k1项，不是第k项2(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk1Cankbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括
3、号中打“”或“”)(1)Cankbk是二项展开式的第k项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)(ab)n的展开式第k1项的系数为Cankbk()(5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n()(6)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项()题组二走进教材2(P31例2(2)若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(B)A10B20C30D120解析二项式系数之和2n64，所以n6，Tk1Cx6k()kCx62k，当62k0，即当k3时为常数项，T4C203(P41B组T5)若(x1)4
4、a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为(B)A9B8C7D6解析令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48题组三走向高考4(2020新课标)6的展开式中常数项是_240_(用数字作答)解析展开式的通项为Tr1C(x2)6rr2rCx123r，令123r0，解得r4，故常数项为24C2405(2017全国卷)(1x)6展开式中x2的系数为(C)A15B20C30D35解析(1x)6展开式的通项Tr1Cxr，所以(1x)6的展开式中x2的系数为1C1C30，故选C考点突破互动探究考点一二次展开式的通项公式的应用多维探究角度1求二
5、项展开式中的特定项或特定项的系数例1(1)(2018课标卷)(x2)5的展开式中x4的系数为(C)A10B20C40D80(2)(2019课标，4)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为(A)A12B16C20D24(3)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为(C)A10B20C30D60解析(1)Tr1C(x2)5rrC2rx103r，当103r4时，解得r2，则x4的系数为C2240，选C(2)(1x)4的二项展开式的通项为Tk1Cxk(k0,1,2,3,4)，故(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为C2C12故选A(3)(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x
6、2x)3y2其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5所以x5y2的系数为CC30故选C另解：由乘法法则知5个因式中两个选y项，两个选x2项，一个选x项乘即可，x5y2的系数为CC30角度2二项展开式中的含参问题例2(1)(2021广东广州阶段测试)6的展开式中的常数项为160，则a的值为(A)A2B2C4D4(2)(2021福建三明质检)若(3x2a)5的展开式中x3的系数为80，则a_4_(3)(2021河北衡水中学模拟)已知二项式n的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是25，则x3的系数为_240_解析(1)6的展开式的通项为Tr1C(ax)6rr(1)rCa6rx62r，由题意得
7、Ca3160，解得a2，故选A(2)5的展开式的通项为Tr1C(2x)5rr(1)r25rCx52r，则323Ca24C80，解得a4(3)由题意得：CC25，解得n6所以Tr1C(2x)nrrC26r(1)rx6r, 令6r3，解得：r2所以x3的系数为C262(1)2240名师点拨求二项展开式中的特定项或其系数，一般是化为通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r，代回通项公式即可变式训练1(1)(角度1)(2018浙江，14)二项式8的展开式的常数项是_7_(2)(角度2)(2021福州模拟)设n为正整数，n的展开式中仅有第5项的二项式系数
8、最大，则展开式中的常数项为(B)A112B112C60D60(3)(角度1)(2020全国)(xy)5的展开式中x3y3的系数为(C)A5B10C15D20解析(1)Tr1C()8r rCx，由84r0得r2，故常数项为T3C7(2)依题意得，n8，所以展开式的通项Tr1Cx8rrCx84r(2)r，令84r0，解得r2，所以展开式中的常数项为 T3C(2)2112(3)(xy)5的展开式的通项Tr1Cx5ryr，(xy)5的展开式中x3y3的系数为CC15，故选C考点二二项式系数的性质与各项系数的和师生共研例3(1)(2020河北衡水中学模拟)已知二项式n的展开式中，二项式系数之和等于64，
9、则展开式中常数项等于(A)A240B120C48D36(2)(2021河北邯郸模拟)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为(C)A15B45C135D405(3)(2021辽宁省朝阳市质量检测)设(1x2)(2x)4a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4a5(x1)5a6(x1)6，则a0a2a4a6_8_解析(1)二项式n的展开式中，二项式系数之和等于2n64，则n6，故展开式的通项公式为Tr1C26rx，令0，求得r2，常数项为C24240故选A(2)由题意64，n6，Tr1Cx6rr3rCx6，令63，r2,32C135，选C(3)由题意，
10、令x2得a0a1a2a3a4a5a60，令x0得a0a1a2a3a4a5a616，两式相加得2(a0a2a4a6)16，所以a0a2a4a68故答案为8引申在本例(3)中，(1)a0_2_；(2)a1a3a5_8_；(3)(a0a2a4a6)2(a1a3a5)2_0_；(4)a2_5_解析记f(x)(1x2)(2x)4，则(1)a0f(1)2(2)a1a3a58；(3)(a0a2a4a6)2(a1a3a5)2f(2)f(0)0；(4)令x1t，则xt1，a2为(t22t2)(1t)4展开式中t2项的系数，又(1t)4的通项为C(t)r，a2C2(1)C2C5名师点拨赋值法的应用(1)形如(ax
11、b)n、(ax2bxc)m(a、b、cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可(2)对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(3)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5*又f(x)a12a2x3a3x2nanxn1，所以a12a23a3nanf(1)变式训练2(1)(多选题)(2021湖北龙泉中学、荆州中学、宜昌一中联考)若(12x)2 021a0a1xa2x2a3x3a2 021x2 021(xR)，则(ACD)Aa01Ba1a3a5
12、a2 021Ca0a2a4a2 020D1(2)(2020湖南娄底期末)已知(x3)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为(C)A20B30C40D50解析(1)令x0得a01，A正确；令x1得a0a1a2a3a2 0211，令x1得a0a1a2a3a2 02132 021，a1a3a5a2 021，B不正确；又a0a2a2 020，C正确；令x得a00，a01D正确，故选ACD(2)因为(x3)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，则2n32，解得n5，所以二项式为(x3)5因为5展开式各项系数和为243，令x1，代入可得(1a)524335，
13、解得a2，所以二项式展开式的通项为Tr1C(x3)5rr2rCx154r，所以当展开式为x7时，即x154rx7，解得r2，则展开式的系数为22C41040故选C考点三二项式定理的应用多维探究例4角度1整除问题(1)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a(D)A0B1C11D12(2)(2021安徽省安庆一中模拟)9C92C910C除以11所得的余数为(A)A0B1C2D1角度2近似计算(3)1.028的近似值是_1.172_(精确到小数点后三位)解析(1)由于51521，(521)2 012C522 012C522 011C5211，又由于13整除52，所以只需13整除1a
14、,0a13，aZ，所以a12，故选D(2)90C9C92C910C1(19)10110101(111)1011110C119C118C11111110C119C118C11，显然所得余数为0，故选A(3)1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.172引申若将本例(2)中“11”改为“8”，则余数为_7_解析由题意原式10101(82)101810C892C8292101(810C892C8298278)7余数为7名师点拨1整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行
15、分析判断2求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx变式训练3(1)(2021江西联考)190C902C903C9010C除以88的余数是(C)A1B87C1D87(2)0.9986的近似值为_0.989_(精确到0.001)解析(1)190C902C903C9010C(190)108910(881)10C8810C889C88C88k1(k为正整数)，所以可知余数为1(2)0.9986(10.002)61C0.002C0.0022C0.0023C0.0024C0.0025C0.00261C0.002C0.00220.988 60.989名师讲坛
16、素养提升一、二项展开式中系数最大项的问题例5已知n的展开式中前三项的系数成等差数列求n的值；求展开式中系数最大的项解析由题设，得CC2C，即n29n80，解得n8，n1(舍去)设第r1项的系数最大，则即解得r2或r3所以系数最大的项为T37x5，T47x名师点拨求展开式中系数最大的项如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得变式训练4(2020山东省德州市高三上期末)6的展开式中，常数项为_60_；系数最大的项是_240x6_解析6的展开式的通项为C(2x2)6kkC26kx123k
17、，令123k0，得k4，所以，展开式中的常数项为C2260；令akC26k(kN，k6)，令，即，解得n，nN，n2，因此，展开式中系数最大的项为C24x6240x6二、一项或三项展开式问题例6(1)(2021河南实验中学期中)若x5a0a1(x2)a2(x2)2a5(x2)5，则a0(D)A32B2C1D32(2)(2021安徽合肥质检)在5的展开式中，x2的系数为_960_解析(1)x52(x2)5a0a1(x2)a5(x2)5Tr1C25r(x2)4，a0T12532故选D(2)解法一：(化为二项展开式问题)510，Tr1C()10rr(2)rCx5r，令5r2，r3，所求系数为(2)3
18、C960解法二：(利用多项式乘法对括号中选取情况讨论)5个括号中的2个选x,3个选(4)，这样得到的x2的系数为CC(4)3640；5个括号中3个选x,1个选，1个选4，这样得到的x2的系数为CC4(4)320；所求系数为640320960名师点拨对一项或三项的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性注：本题也可如下变形化为二项式求解：55变式训练5(2021广东汕头模拟)在(x2x2)5的展开式中，x3的系数为(C)A40B160C120D200解析(x2x2)5(x1)5(x2)5，x3的系数为CC(2)5CC(2)4CC(2)3CC(2)2120另解：(利用多项式乘法)CC(1)(2)3C(1)3(2)2120，故选C