1、第2课时 面面的位置关系、三垂线定理及其逆定理基础达标练1.若平面,平行,则下列可以是这两个平面的法向量的是( )A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)答案：D2.已知两个不重合的平面与平面ABC ,若平面的一个法向量为n=(2,-3,1) ,向量AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1) ,则( )A.平面平面ABCB.平面平面ABCC.平面、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能答案：A3.已知平面的一个法向量是(2,3,-1),平
2、面的一个法向量是(4,-2) ,若 ,则的值是( )A.-310 B.-6C.6D.103答案：C4.（多选）（2020山师附中高二检测）下列命题中是真命题的有( )A.直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2) ,直线m的一个方向向量为b=(2,1,-12) ,则l与m垂直B.直线l的一个方向向量为a=(0,1,-1) ,平面的一个法向量为n=(1,-1,-1) ,则lC.平面,的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2) ,则D.平面经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0) ,向量n=(1,u,t)是平面的一个法向量,则u+t=1答案：A ; D解析：a
3、=(1,-1,2),b=(2,1,-12),ab=12-11+2(-12)=0 ,则ab ,直线l与m垂直,故A正确;a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1) ,则an=01+1(-1)+(-1)(-1)=0 ,则an,l或l ,故B错误;n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),n1与n2不共线,不成立,故C错误;点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0) .向量n=(1,u,t)是平面的一个法向量,nAB=0,nBC=0,即-1+u+t=0,-1+u=0,解得u+t=1 ,故D正确.5.（2021山东青州第一中学高二月考
4、）设平面与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面与向量b=(-2,4,-8)垂直,则平面与的位置关系是 .答案：平行或重合6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,BAC=30,BC=1,AA1=6,M是CC1的中点.求证：AB1A1M .答案：证明如图,连接AC1 ,易知A1C1=AC=3,ACMC1=362=2,CC1C1A1=63=2,RtACC1RtMC1A1,AC1C=MA1C1,A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90,A1MAC1.ABC-A1B1C1为直三棱柱,B1C1CC1,又B1C1A1C1,A1C1CC1=C1,A1C1,CC1平面ACC1A1,B
5、1C1平面ACC1A1,由三垂线定理知,AB1A1M .素养提升练7.已知平面内的两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1) .若c为平面的一个法向量,则m,n的值分别为( )A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2答案：A解析：c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1) ,由c为平面的一个法向量,得ca0,cb0,解得m-1,n2.8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=22,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM与PM的位置关系为( )
6、A.平行B.异面C.垂直D.以上都不对答案：C解析：取CD的中点P ,连接PP ,AP ,MP（图略）,易知PP平面ABCD ,所以MP为PM在平面ABCD内的射影由题意得,AM=6,MP=3,AP=3,所以AP2=AM2+MP2 ,所以AMMP,由三垂线定理知AMPM .9.若正三棱锥P-ABC的侧面互相垂直,则棱锥的高与底面边长之比为 .答案：1:6解析：设棱锥的高为h ,底面边长为1,O为ABC的中心,以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,h),A(33,0,0),B(-36,12,0),C(-36,-12,0) ,PA=(33,0,-h),PB=(-36,12,-h)
7、,PC=(-36,-12,-h) ,设平面PAB的一个法向量为n1=(x1,y1,z1) ,则PAn1=0,PBn1=0,即33x1-hz1=0,-36x1+12y1-hz1=0,令x1=3 ,则y1=3,z1=1h,所以平面PAB的一个法向量为n1=(3,3,1h) .设平面PAC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2) ,则PAn2=0,PCn2=0,即33x2-hz2=0,-36x2-12y2-hz2=0,令x2=3 ,则y2=-3,z2=1h ,所以平面PAC的一个法向量为n2=(3,-3,1h) ,由平面PAB平面PAC,知n1n2,即n1n2=3-9+1h2=0,解得h=66（负值
8、舍去）,故高与底面边长之比为66:1=1:6 .10.（2020山东济南高二期末）如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA平面ABC,ABC是边长为2的正三角形,D、E分别为PB、PC的中点.（1）若PA=2 ,求直线AE与PB所成角的余弦值;（2）若平面ADE平面PBC ,求PA的长.答案：（1）取AC的中点F ,连接BF ,则BFAC .以A为坐标原点,过A且与BF平行的直线为x轴,AC、AP所在直线分别为y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.易知A(0,0,0),B(3,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2) ,E(0,1,1) .PB=(3,1,-2),AE=(0,1,1) .设
9、直线AE,PB所成角的大小为 ,则cos=|PBAE|PB|AE|=|1-2|3+1+40+1+1=14 .所以直线AE,PB所成角的余弦值为14 .（2）设PA=a ,则P(0,0,a) ,PB=(3,1,-a),PC=(0,2,-a) .设平面PBC的一个法向量为m=(x1,y1,z1) ,则PBm=3x1+y1-az1=0,PCm=2y1-az1=0,令z1=2 ,则y1=a,x1=33a ,则m=(33a,a,2) .D(32,12,a2),E(0,1,a2),AD=(32,12,a2),AE=(0,1,a2) .设平面ADE的一个法向量为n=(x2,y2,z2) ,则ADn=32x2
10、+12y2+a2z2=0,AEn=y2+a2z2=0,令z2=2,则y2=-a,x2=-33a,则n=(-33a,-a,2) .若平面ADE平面PBC ,则mn=0 ,即-13a2-a2+4=0 ,解得a=3（负值舍去）.所以PA=3 .创新拓展练11.如图1,在直角三角形ABC中,ABC=90,A=60,AB=2 .D,M分别是AC,BD的中点.现将三角形ABD沿BD边折起,记折起后的点A位于点P的位置,且平面PBD平面DBC ,如图2所示,点N为BC边上的一点,且|BN|BC|=(01) .（1）若DB平面PMN ,求的值;（2）是否存在 ,使平面PDN平面PMN？若存在,求出的值;若不存
11、在,说明理由.解析：命题分析本题为立体几何中的折叠问题,体现了平面与空间的辩证统一,考查学生的运算求解能力和直观想象的核心素养,难度稍大.答题要领（1）根据题意,得到折叠前AD=AB=DB=2,DBC=30,BC=23 ,折叠后,得出DM=BM=1 ,求出BN ,即可得出 .（2）先由平面PBD平面DBC ,得到PM平面DBC ,由（1）得到,当|BN|=|BC|3=233时,DBMN ,建立空间直角坐标系,分别求出平面PDN与平面PMN的一个法向量,要使面面垂直,只需法向量的数量积乘积为零,列出方程求解,即可得出结果.答案：详细解析（1）折叠前,直角三角形ABC中,ABBC,A=60 ,D是
12、AC的中点,所以AD=AB=DB=2,DBC=30,BC=23 .折叠后,三角形PDB为等边三角形,PD=PB=DB=2 ,因为点M为BD的中点,所以DM=BM=1 .由DB平面PMN ,知DBMN ,直角三角形BMN中,DBC=30 ,所以BN=BMcos30=233 ,所以=|BN|BC|=13 .（2）不存在.理由：由平面PBD平面DBC ,平面PBD平面DBC=DB,PMDB ,知PM平面DBC .由（1）知,当|BN|=|BC|3=233时,DBMN ,记此时点N的位置为N0 .以M为坐标原点,MN0所在直线为x轴,MB所在直线为y轴,作垂直于平面xMy的直线为z轴建立空间直角坐标系
13、,如图所示,则M(0,0,0),P(0,0,3),B(0,1,0),D(0,-1,0),N(3,1-3,0) .故PM=(0,0,-3),PD=(0,-1,-3),PN=(3,1-3,-3) ,设平面PDN的一个法向量为n1=(x1,y1,z1) ,则n1PD=0,n1PN=0,所以-y1-3z1=0,3x1+(1-3)y1-3z1=0,令z1=1,则n1=(2-3,-3,1) .设平面PMN的一个法向量为n2=(x2,y2,z2) ,则n2PM=0,n2PN=0,所以-3z2=0,3x2+(1-3)y2-3z2=0,令y2=3 ,则n2=(3-1,3,0) .要使平面PDN平面PMN ,则n1n2=0 ,即2-33-1-3=0 ,化简得,122-9+2=0 ,由于=-150 ,该一元二次方程无实数解,所以不存在 ,使平面PDN平面PMN .方法感悟解答折叠问题时,要先充分地认识平面图形,并注意平面图形与立体图形的对照使用,分析折叠前后哪些位置关系发生了变化,哪些没有变化;哪些数量关系发生了变化,哪些没有变化,不变的要在平面图形中处理,变了的在立体图形中处理.