1、黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三数学三模试题 文（含解析）一、单选题（共12个小题，每小题5分，共60分）.1已知集合A1，0，1，2，Bx|0x3，则AB（）A1，0，1B0，1C1，1，2D1，22在复平面内，复数i（2i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知向量（1，2），（m，m+3），若，则m（）A7B3C3D74已知命题p：xR，（）x0，命题p的否定是（）AxR，（）x0BxR，（）x0CxR，（）x0DxR，（）x05如图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点
2、用虚线连接，根据图象，给出下列结论：一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；二班成绩不够稳定，波动程度较大；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升其中正确结论的个数为（）A0B1C2D36已知x，y为正实数，且xy4，则x+4y的最小值是（）A4B8C16D327化简sinx+cosx（）ABCD8点P为双曲线1（a0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点若|PF1|7，|PF2|3，则双曲线的一条渐近线方程是（）A2x+3y0B4x+9y0C3x2y0D9x4y09函数ysinxln|x|的部分图象大致是（）ABCD10九章算术卷五商功中有如下问题：“今有委粟平地
3、，下周一十二丈，高四丈”意思是：今将粟放在平地，谷堆下周长12丈，高4丈将该谷堆模型看作一个圆锥，取近似值3，则该圆锥外接球的表面积约为（）A55平方丈B75平方丈C110平方丈D150平方丈11已知aln，b，c（其中e是自然对数的底数）则a，b，c的大小关系是（）AcabBacbCbacDcba12设抛物线C：y24x的焦点为F，点A是抛物线C的准线与x轴的交点若抛物线C上的点M满足|MA|MF|，则|MF|（）AB2C2D4二、填空题（每题5分，共20分）13若实数x，y满足约束条件，zx+y的最小值为 14从1，4，9，16，25中任取两个数，它们均小于这五个数的平均数的概率是 15在
4、ABC中，AB2，AC，且，则SABC 16如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M2MD1，过M的平面与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 三、解答题(共计70分）17设Sn为等差数列an的前n项和已知a35，S749（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Tn18在三棱锥PBCD中，A是CD的中点，ABAC，BC6，PBBD6，PC12（）证明：BC平面PBD；（）若PD6，求点A到平面PBC的距离19“一本书，一条街，一教堂，一条江”曾是哈尔滨的城市名片，而现在“哈马”又成为了哈尔滨的另一张名片，随着全民运动健康
5、意识的提高，马拉松运动不仅在哈尔滨，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑训练的天数不大于2天3天或4天不少于5天人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列22列联表，并通过计算判断是否能有99%的把握认为“是否热烈参
6、与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计参考公式及数据：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C与A、B两点，AF2B的周长为，且椭圆C经过点（1）求椭圆C的方程；（2）当AB的中点坐标为时，求AF2B的面积21已知函数f（x）x2（a2a+2）x（a32a2）lnx（a0）（）当a1时，求函数图象在点（1，f（1）处的切线方程；（）若a1，当函数f（x）有且只有一个
7、极值f（x0）时，g（x0）+2lna，求g（x0）的最大值请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin（1）当为参数，t0时，曲线C1与C2只有一个公共点，求t；（2）当t为参数，0，）时，曲线C1与C2相交于A，B，且|AB|4，求的值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）3|x+1|+|2x1|的最小值为m（1）求m的值；（2）若a，b（0，+），证明：参考答案一、单选题（每小题5分，共60分）1已知集合A
8、1，0，1，2，Bx|0x3，则AB（）A1，0，1B0，1C1，1，2D1，2解：集合A1，0，1，2，Bx|0x3，则AB1，2，故选：D2在复平面内，复数i（2i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：复数zi（2i）i2+2i1+2i复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选：A3已知向量（1，2），（m，m+3），若，则m（）A7B3C3D7解：，m+32m0，解得m3故选：C4已知命题p：xR，（）x0，命题p的否定是（）AxR，（）x0BxR，（）x0CxR，（）x0DxR，（）x0解：命题为全称命题，则命题的否定为xR，（）0，故选：B5如图是某
9、学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；二班成绩不够稳定，波动程度较大；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升其中正确结论的个数为（）A0B1C2D3解：由图可可知，一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好，故正确；二班的成绩有时高于年级整体成绩，有时低于年级整体成绩，特别是第六次成绩远低于年级整体成绩，可知二班成绩不够稳定，波动程度较大，故正确；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，只有第六次高于年级整体成绩，但在
10、稳步提升，故正确正确结论的个数为故选：D6已知x，y为正实数，且xy4，则x+4y的最小值是（）A4B8C16D32解：x0，y0x+4y28，当且仅当x4y且xy4，即x4，y1时取等号，x+4y的最小值为8故选：B7化简sinx+cosx（）ABCD解：sinx+cosx2sin（x+）故选：A8点P为双曲线1（a0）右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点若|PF1|7，|PF2|3，则双曲线的一条渐近线方程是（）A2x+3y0B4x+9y0C3x2y0D9x4y0解：P为双曲线1（a0）右支上一点，且|PF1|7，|PF2|3，由双曲线定义可得2a|PF1|PF2|734，则a2
11、又由双曲线方程可得b3，双曲线的渐近线方程为y，即3x2y0结合选项可得，双曲线的一条渐近线方程是3x2y0故选：C9函数ysinxln|x|的部分图象大致是（）ABCD解：根据题意，f（x）sinxln|x|，其定义域为x|x0，有f（x）sin（x）ln|x|sinxln|x|f（x），即函数f（x）为奇函数，其图像关于原点对称，排除CD，在区间（0，1）上，sinx0，ln|x|0，则f（x）0，函数图像在x轴的下方，排除B，故选：A10九章算术卷五商功中有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈”意思是：今将粟放在平地，谷堆下周长12丈，高4丈将该谷堆模型看作一个圆锥，取近似值3
12、，则该圆锥外接球的表面积约为（）A55平方丈B75平方丈C110平方丈D150平方丈解：设外接球球心为O，底面圆心为O，设底面圆的半径为r，因为该谷堆模型看作一个圆锥，取近似值3，谷堆下周长12丈，所以2r12，则r2，设外接球的半径为R，而高4丈，所以OO4R，根据勾股定理可得，（4R）2+22R2，解得R，所以该圆锥外接球的表面积约为4R22575平方丈故选：B11已知aln，b，c（其中e是自然对数的底数）则a，b，c的大小关系是（）AcabBacbCbacDcba解：设,0xe时，f(x)0,f(x)在(0,e上单调递增，且,acb故选：B12设抛物线C：y24x的焦点为F，点A是抛物
13、线C的准线与x轴的交点若抛物线C上的点M满足|MA|MF|，则|MF|（）AB2C2D4解：由抛物线的方程可得焦点F（1，0），准线方程为：x1，所以由题意可得A（1，0），设MM垂直于准线于M，因为|MA|MF|，则由抛物线的性质可得|MA|MM|，所以cosMMAcosMAF，所以tanMAF1，所以直线AM的方程为yx+1，与抛物线联立，整理得x22x+10，所以x1，即M的横坐标为1，再由抛物线的性质可得|MF|1+12，故选：B二、填空题（每题5分，共20分）13若实数x，y满足约束条件，zx+y的最小值为2解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（2，0），化zx+y为yx+z，
14、由图可知，当直线yx+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2故答案为：214从1，4，9，16，25中任取两个数，它们均小于这五个数的平均数的概率是解：1，4，9，16，25的平均数为：（1+4+9+16+25）11，从1，4，9，16，25中任取两个数，基本事件总数n10，它们均小于这五个数的平均数包含的基本事件个数m3，它们均小于这五个数的平均数的概率P故答案为：15在ABC中，AB2，AC，且，则SABC解：由，知sinAcosC2cosAsinBcosAsinC，所以sinAcosC+cosAsinC2cosAsinB，所以sin（A+C）2cosAsinB，即sinB2co
15、sAsinB，因为sinB0，所以cosA，所以sinA，所以SABCABACsinA2故答案为：16如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M2MD1，过M的平面与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为解：在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要MEBC1，如图所示，因为A1M2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则，所以截面MIHGFE的周长为，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a1，故截面多边形的周长为故答案为：三、解答题(共计70分）17设
16、Sn为等差数列an的前n项和已知a35，S749（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Tn解：（1）设等差数列an的公差为d，首项为a1由题意可得，解得，所以an的通项公式为an2n1（2）由（1）得，从而18在三棱锥PBCD中，A是CD的中点，ABAC，BC6，PBBD6，PC12（）证明：BC平面PBD；（）若PD6，求点A到平面PBC的距离【解答】（）证明：A是CD的中点，ABAC，在BCD中，ABACAD，BCD是直角三角形，且DBC90，即BCBD，由已知PB6，PC12，BC6，得PC2PB2+BC2，BCPB，又BDPBB，BD、PB平面PBD，BC平面PBD
17、；（）解：由（1）可知，BC平面PBD，设点D到平面PBC的距离为d，由VDPBCVCPBD，可得，PBD为等边三角形，且PB6，PBC为直角三角形，且PB，BC6，可得d，而A是CD的中点，则点A到平面PBC的距离为19“一本书，一条街，一教堂，一条江”曾是哈尔滨的城市名片，而现在“哈马”又成为了哈尔滨的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在哈尔滨，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计
18、表：平均每周进行长跑训练的天数不大于2天3天或4天不少于5天人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列22列联表，并通过计算判断是否能有99%的把握认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计参考公式及数据：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解
19、：（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市2万人参与马拉松运动，其中“热烈参与者”的人数约为4000人；（2）由题意，22列联表如下： 热烈参与者 非热烈参与者合计男35105140 女 5 5560 合计 40 160200因为K2，所以能有99%的把握认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关20已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C与A、B两点，AF2B的周长为，且椭圆C经过点（1）求椭圆C的方程；（2）当AB的中点坐标为时，求AF2B的面积解：（1）AF2B的周长为4，故4a4，即a，又椭圆经过点（1，），+1，即b1，椭圆方程为+y21（2）由椭圆方程可
20、知F1（1，0），F2（1，0）AB的中点（，）在第二象限，显然直线AB有斜率且斜率大于0，设直线AB的方程为yk（x+1）（k0），代入椭圆方程可得：（+k2）x2+2k2x+k210，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x22，解得：k1，于是x1x20，|AB|又直线AB的方程为：yx+1，F2（1，0），F2到直线AB的距离d，ABF2的面积为21已知函数f（x）x2（a2a+2）x（a32a2）lnx（a0）（）当a1时，求函数图象在点（1，f（1）处的切线方程；（）若a1，当函数f（x）有且只有一个极值f（x0）时，g（x0）+2lna，求g（x0）的最大值解：（）当a1
21、时，函数f（x）x22x+lnx，f（x）x2+，f（1）0，f（1），所以函数图象在点（1，f（1）处的切线方程为y（）f（x）x（a2a+2）（x0），令f（x）0，解得xa2或x2a，因为函数f（x）有且只有一个极值f（x0），故x0a2，2a0，可得a2，f（x0）f（a2）a4（a2a+2）a2（a32a2）lna2a4+a32a2（a32a2）lna2，则g（x0）+2lna+1+1，而a2，则02，令t，则g（x0）+1，当t时，有g（x0）max3，故g（x0）的最大值为3请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面
22、直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin（1）当为参数，t0时，曲线C1与C2只有一个公共点，求t；（2）当t为参数，0，）时，曲线C1与C2相交于A，B，且|AB|4，求的值解：（1）曲线C2的直角坐标方程为：x2+（y2）24，当为参数时，曲线C1的直角坐标方程为（x2）2+y2t2，又曲线C1与C2只有一个公共点，故线C1与C2的位置关系是外切或内切，（）当C1与C2外切时，解得：；（）当C1与C2内切时，解得：，故或者（2）当t为参数时，曲线C1为过点（0，2）的直线，又曲线C2是直径为4的圆，且|AB|4，所以直线C1过圆C2的圆心（0，2），则直线C1的斜率，因为0，），所以选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）3|x+1|+|2x1|的最小值为m（1）求m的值；（2）若a，b（0，+），证明：解：（1），x1时，f（x的最小值为3（2）证明：a，b（0，+），当且仅当ab1即证