1、等比数列【知识梳理】1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)2如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G.3等比数列an的首项为a1，公比为q(q0)，则通项公式为：ana1qn1.【常考题型】题型一、等比数列的判断与证明【例1】已知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，令bnan，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式解依题意an2(n1)(1)3n，于是bn3n.而12.数列bn是公比为2的等比数列，通项公式为bn2
2、n3.【类题通法】证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：q(q为常数且q0)或q(q为常数且q0，n2)an为等比数列(2)等比中项法：aanan2(an0，nN*)an为等比数列(3)通项公式法：ana1qn1(其中a1，q为非零常数，nN*)an为等比数列【对点训练】1已知数列an的前n项和Sn2an，求证：数列an是等比数列证明：Sn2an，Sn12an1.an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1.an1an.又S12a1，a110.又由an1an知an0，.an是等比数列.题型二、等比数列的通项公式【例2】在等比数列an中，(1)a42，a78，求an；(2)a2a518，
3、a3a69，an1，求n.解(1)因为所以由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12.(2)法一：因为由得q，从而a132.又an1，所以32n11，即26n20，所以n6.法二：因为a3a6q(a2a5)，所以q.由a1qa1q418，得a132.由ana1qn11，得n6.【类题通法】与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法从方程的观点看等比数列的通项公式，ana1qn1(a1q0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量求解时，要注意应用q0验证求得的结果【对点训练】2(1)若等比数列的前三项分别为5，15,
4、45，则第5项是()A405B405C135 D135(2)已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.解析：(1)选Aa5a1q4，而a15，q3，a5405.(2)根据条件求出首项a1和公比q，再求通项公式由2(anan2)5an12q25q20q2或，由aa10a1q90a10，又数列an递增，所以q2.aa100(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为an2n.答案：(1)A(2)2n题型三、等比中项【例3】设等差数列an的公差d不为0，a19d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A2 B.4C6 D8解析an
5、(n8)d，又aa1a2k，(k8)d29d(2k8)d，解得k2(舍去)，k4.答案B【类题通法】等比中项的应用主要有两点：计算，与其它性质综合应用可以简化计算、提高速度和准确度用来判断或证明等比数列【对点训练】3已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是()A1或 B.1或C1或 D1或解析：选D由题意得，a2b2(ab)21，2，或因此的值为1或.【练习反馈】1等比数列an中，a1a310，a4a6，则公比q等于()A.B.C2 D8解析：选Ban为等比数列，a4a6(a1a3)q3，q3，q.2已知等差数列an的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于()A9
6、 B.3C3 D9解析：选Da1a23，a3a23，a4a232a26，由于a1，a3，a4成等比数列，则aa1a4，所以(a23)2(a23)(a26)，解得a29.3在数列an中，a12，且对任意正整数n,3an1an0，则an_.解析：3an1an0，因此an是以为公比的等比数列，又a12，所以an2n1.答案：2n14已知an是递增等比数列，a22，a4a34，则此数列的公比q_.解析：由题意得2q22q4，解得q2或q1.又an单调递增，得q1，q2.答案：25(1)已知an为等比数列，且a58，a72，该数列的各项都为正数，求an.(2)若等比数列an的首项a1，末项an，公比q，求项数n.(3)若等比数列an中an4a4，求公比q.解：(1)由已知得得，an0，an128n128n.(2)由ana1qn1，得n1，即n13，得n4.(3)an4a4q(n4)4a4qn，又an4a4，qn1，当n为偶数时，q1；当n为奇数时，q1.
