1、湖南省郴州市2019-2020学年高二数学下学期学业水平模拟考试检测试题（含解析）注意事项：1、试卷分试题卷和答题卡试卷共4页，有三大题，19小题，满分100分考试时间90分钟2、答题前，考生务必将自己的姓名、班次、准考证号、考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面上3、考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题4、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】直接计算交集得
2、到答案.【详解】，则.故选：.点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2.某人连续投篮2次，事件“至少有1次投中”的对立事件是（ ）A. 恰有1次投中B. 至多有1次投中C. 2次都投中D. 2次都未投中【答案】D【解析】【分析】根据对立事件的定义得到答案.【详解】某人连续投篮2次，事件“至少有1次投中”的对立事件是：2次都未投中.故选：【点睛】本题考查了对立事件，意在考查学生对于对立事件的理解.3.已知向量，且，则的值为（ ）A. 10B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接根据向量平行公式得到答案.【详解】向量，且，则，.故选：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计
3、算能力.4.过点且与直线垂直的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据垂直得到，再计算直线方程得到答案.【详解】，则，两直线垂直，则，过点，则，即.故选：.【点睛】本题考查了根据垂直求方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.5.下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若，则，当时不成立； B. 若，则，举反例，不满足；C. 若，则，根据不等式性质知，错误；D. 若，故，平方得到，正确.故选：.【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运
4、用.6.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 130B. 145C. 175D. 290【答案】B【解析】【分析】计算得到，代入公式计算得到答案.【详解】，故，.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.7.为了研究某班学生的数学成绩（分）和物理成绩（分）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知，该班某学生的物理成绩为86，据此估计其数学成绩约为（ ）A. 81B. 80C. 93D. 【答案】B【解析】【分析】计算，故，代入数据计算得到答案.【详解】，故，即，当时，解得.故选：.【点睛】本题考查了线
5、性回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.长方体中，则直线与平面所成角的大小为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】C【解析】【分析】连接，根据长方体知平面，故为直线与平面所成角，计算得到答案.【详解】如图所示：连接，根据长方体知平面，故为直线与平面所成角，故.故选：.【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9.已知函数的图像如图，则该函数的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据周期排除，计算特殊值排除，得到答案.【详解】根据图像知：，故，排除.当时，排除，当时，排除.故选：.【点睛】本题考查了根据图像求三角函数解
6、析式，意在考查学生的计算能力和识图能力.10.已知函数，若，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出函数图像，根据对称性得到答案.【详解】画出函数图像，如图所示：根据对称性知：，故.故选：.【点睛】本题考查了函数的交点问题，画出图像利用对称性是解题的关键.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分11.已知幂函数（为常数）的图象经过点，则_【答案】2【解析】【分析】根据幂函数计算得到，代入计算得到答案.【详解】根据题意：，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了幂函数和对数函数，意在考查学生的计算能力.12.已知数列中，则数列的前项和_【答案】【解析】【分析
7、】确定数列是首项为，公比为的等比数列，计算得到答案.【详解】根据题意数列是首项为，公比为的等比数列，故.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列的前项和，意在考查学生的计算能力.13.已知分别为内角的对边，若，则_【答案】【解析】【分析】直接利用余弦定理得到答案.【详解】根据余弦定理：，故.故答案：.【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.14.若变量、满足约束条件，则的最大值为_【答案】3【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据图像得到答案.【详解】画出可行域和目标函数，如图所示：，则，表示直线在轴的截距，根据图像知：当时，函数有最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了线性规划问
8、题，画出图像是解题的关键.15.关于的不等式的解集为，则以为圆心，为半径的圆的标准方程是_【答案】【解析】【分析】根据不等式得到，得到圆的标准方程.【详解】不等式的解集为，故，.故圆心为，半径为，故圆的标准方程是.故答案为：.【点睛】本题考查了根据不等式的解求参数，圆的标准方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题：本大题共4小题，共40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.在抗击新型冠状病毒肺炎期间，为响应政府号召，郴州市某单位组织了志愿者30人，其中男志愿者18人，用分层抽样方法从该单位志愿者中抽取5人去参加某社区的防疫帮扶活动（1）求从该单位男、女志愿者中各抽取的人数
9、；（2）从抽取的5名志愿者中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名志愿者中恰有1名男志愿者的概率【答案】（1）从男志愿者中抽取3人，女志愿者中抽取2人；（2）【解析】【分析】（1）直接根据分层抽样的比例关系得到答案.（2）记3名男志愿者分别为1、2、3，2名女志愿者分别为、，列出所有情况，统计满足条件的情况得到概率.【详解】（1）（人），（人），所以从男志愿者中抽取3人，女志愿者中抽取2人.（2）记3名男志愿者分别为1、2、3，2名女志愿者分别为、，则从中抽取2人的所有基本事件为共10种，记事件为“选出的2名志愿者中恰有1名男志愿者”，则包含的基本事件有6种，故【点睛】本题考查了分层抽样和概率的
10、计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.17.已知函数（1）在如图所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）直接写出函数的单调增区间及零点【答案】（1）见解析；（2）单调增区间是，函数的零点是【解析】【分析】（1）画出函数图像得到答案.（2）根据函数图像直接得到答案.【详解】（1）该函数的图像如图：（2）由函数的图像可知：单调增区间是；函数的零点是【点睛】本题考查了函数图像，函数单调区间，函数零点，意在考查学生的综合应用能力.18.如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形且，是的一点，且，（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明，得到答案
11、.（2）计算，根据体积公式计算得到答案.【详解】（1）在直三棱柱中，平面，又平面，又平面，又平面，、，故，即，又，平面（2）， ，.【点睛】本题考查了线面垂直，体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.设函数，且角的终边经过点（1）求的值；（2）当时，求函数的值域；（3）对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据三角函数定义得到，代入计算得到答案.（2）化简得到，得到值域.（3）变换得到，利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）的终边经过点，又，.（2），即函数的值域是（3）由，得，所以原不等式恒成立等价于对任意的，恒成立，设，则，当且仅当时，【点睛】本题考查了三角函数值域，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.
