1、2.2.2 直线的两点式方程课标解读课标要求素养要求1.掌握直线的两点式方程和截距式方程. 2.会选择适当的方程形式求直线的方程. 3.能用直线的两点式方程与截距式方程解决有关问题.1.数学运算会用直线的两点式方程与截距式方程求直线方程. 2.直观想象会利用图形理解截距的几何意义. 自主学习必备知识教材研习教材原句1.两点式的定义：经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2,y1y2) 的直线的方程为 y-y1y2-y1=x-x1x2-x1 ，我们把它叫做直线的两点式方程，简称 两点式 .2.截距式的定义：直线l ：xa+yb=1(a0,b0) ，我们把直线l 与x 轴的交点(a
2、,0) 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b .方程xa+yb=1 由直线l 在两条坐标轴上的截距a 与b 确定，我们把方程 xa+yb=1 叫做直线的截距式方程，简称 截距式 .自主思考1.两点式方程与P1(x1,y1) ，P2(x2y2) 的顺序有关吗？提示 无关.2.若截距相等，则xa+yb=1 还成立吗？提示 不一定成立，截距相等有两种情况.若a=b=0 ，则直线的方程为y=kx ，故xa+yb=1 不成立；若a=b0 ，则直线的方程为x+y=axa+ya=1 ，故xa+yb=1 成立.名师点睛1.在用两点式求直线的方程时，往往把分式形式y-y1y2-y1
3、=x-x1x2-x1(x1x2,y1y2) 通过交叉相乘转化为整式形式(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1) ，在得到的方程中，包含了x1=x2 或y1=y2 的情况，故此转化过程不是一个等价的转化过程，不能忽略由x1,x2 和y1,y2 是否相等引起的讨论.若要避免讨论，则可以直接设成两点式的整式形式.2.直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况，由直线的截距式方程可以直接知道直线在x 轴和y 轴上的截距，所以在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时，使用截距式非常方便.互动探究关键能力探究点一 利用两点式求直线的方程精讲精练例已知ABC 的三个顶点分别为A(0,
4、4)、B(-2,6)、C(-8,0) .（1）求AB 所在直线的方程；（2）求AC 边上的中线BD 所在直线的方程；（3）求经过AB 和AC 的中点的直线的方程.答案：（1）由A(0,4) ，B(-2,6) 可得AB 所在直线的两点式方程为y-46-4=x-0-2-0 ，即x+y-4=0 .（2）设AC 边上的中点为D(x0,y0) ，由中点坐标公式可得x0=-4,y0=2 ，所以BD 所在直线的两点式方程为y-62-6=x+2-4+2 ，即2x-y+10=0 .（3）易知AB 的中点的坐标为(-1,5),AC 的中点的坐标为(-4,2)，所以所求直线的方程为y-25-2=x-(-4)-1-(
5、-4) ，即x-y+6=0 .解题感悟当已知两点的坐标求过这两点的直线的方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件.若满足，则考虑用两点式求方程.迁移应用求过A(2,1),B(m,3) 两点的直线l 的方程.答案：当m=2 时，直线l 的方程为x=2 ；当m2 时，直线l 的方程为y-13-1=x-2m-2 ，即2x-(m-2)y+m-6=0 . 当m=2 时，x=2 满足上式， 直线l 的方程为2x-(m-2)y+m-6=0 .探究点二 求直线的截距式方程精讲精练例（2021四川西昌高二期中）已知直线l 过点(1,2)，且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是( )
6、A.2x-y=0B.2x+y-4=0C.2x-y=0 或2x+y-4=0D.2x-y=0 或x+2y-2=0思路分析 设直线l 在x 轴上的截距为a ，则直线l 在y 轴上的截距为2a ，分情况讨论，利用直线的截距式方程可得结果.答案：C解析：设直线l 在x 轴上的截距为a ，则直线l 在y 轴上的截距为2a .当a=0 时，直线l 经过原点，其方程为y=2x ，即2x-y=0 ；当a0 时，设直线l 的方程为xa+y2a=1 ，因为直线l 过点(1,2)，所以代入(1,2)得1a+22a=1 ，解得a=2 ，所以直线l 的方程为x2+y4=1 ，即2x+y-4=0 .综上，直线l 的方程为2
7、x-y=0 或2x+y-4=0 ，故选C.变式将本例条件变为在两坐标轴上的截距相等，其他条件不变，如何求解？答案：当直线l 在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l 的方程为y=kx ，代入(1,2)得k=2 ，此时直线l 的方程为y=2x ；当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，设直线l 的方程为xa+ya=1 ，把(1,2)代入得a=3 ，即x+y-3=0 .综上，所求直线的方程为y=2x 或x+y-3=0 .解题感悟用截距式方程时需要注意以下三点：（1）若问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.（2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否
8、与两坐标轴垂直.（3）要注意截距式方程的逆向应用.迁移应用求过点(4,-3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程.答案：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距分别为a,b .当a0,b0 时，设l 的方程为xa+yb=1 . 点(4,-3)在直线l 上，4a+-3b=1 ，若a=b ，则a=b=1 ，直线l 的方程为x+y-1=0 .若a=-b ，则a=7,b=-7 ，此时直线l 的方程为x-y-7=0 .当a=b=0 时，直线过原点，设直线l 的方程为y=kx ， 直线过点(4,-3)， 代入(4,-3)得k=-34 ，即直线l 的方程为3x+4y=0 .综上，所求直线的方程为x+y
9、-1=0 或x-y-7=0 或3x+4y=0 .探究点三 截距式方程的应用精讲精练例（改编题）宜昌大剧院和宜昌奥体中心将是人们健康生活的最佳场所，若两处在同一平面直角坐标系中对应的点分别为A(1,2) ，B(0,b)(b0) .假设至喜长江大桥所在的直线为l ：y=0 .（1）若b=4 ，现为方便大家出行，计划在至喜长江大桥上的点P 处新增一出口通往两地，要使从P 处到两地的总路程最短，求点P 的坐标；（2）若BA 的延长线交直线l 于点E(a,0)(a0) ，求直线BE 与两坐标轴围成的面积的最小值.思路分析 （1）根据题意，画出平面直角坐标系，求出点B 关于x 轴的对称点，根据两点之间线段
10、最短，结合直线的方程，即可求解.（2）写出BE 所在直线的方程，利用基本不等式求解.答案：（1）如图，点B(0,4) 关于x 轴的对称点为C(0,-4) ，连接AC 交x 轴于P ，此时从P 处到两地的总路程最短，为|PA|+|PB|=|PA|+|PC|=|AC| ，此时AC 所在直线的方程为y-2-4-2=x-10-1 ，即6x-y-4=0 .取y=0 ，得x=23 ，所以点P 的坐标为(23,0) .（2）由题意知BE 所在直线的方程为xa+yb=1 ，因为点A 在BE 上，所以1a+2b=1 ，因为a0,b0 ，所以1=1a+2b22ab ，所以ab8 ，当且仅当1a=2b=12 ，即a
11、=2,b=4 时等号成立，所以(SEOB)min=128=4 .解题感悟求解与直线的方程有关的最值问题，一般先设出直线的方程，建立目标函数，再利用函数的性质、基本不等式求最值.迁移应用直线l 过点(4,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A、B 两点，O 为坐标原点，求AOB 面积的最小值.答案：设直线l 的方程为xa+yb=1(a0,b0) ，因为直线l 过点(4,1)，所以4a+1b=1 .又4a+1b24a1b ，则ab16 ，当且仅当4a=1b=12 ，即a=8,b=2 时取等号，所以(SAOB)min=1216=8 .评价检测素养提升1.经过P1(2,0),P2(0,3) 两点的
12、直线的方程是( )A.x3+y2=0 B.x2+y3=0C.x2+y3=1 D.x2-y3=1答案：C2.若点P(3,m) 在过点A(2,-1) ，B(-3,4) 的直线上，则m= ( )A.2B.1C.-1D.-2答案：D3.过点(-1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为 .答案：-324.（2021四川成都为明学校高二月考）已知在ABC 中，A(-3,2) ，B(5,-4) ，C(0,-2) .（1）求BC 边所在直线的方程；（2）求BC 边上的中线所在直线的方程.答案：（1）由两点式得y-(-4)(-2)-(-4)=x-50-5 ，即2x+5y+10=0 ，故BC边所在直线的方程是2x+5y+10=0 .（2）设BC 的中点为M(a,b) ，则a=5+02=52,b=(-4)+(-2)2=-3 ，所以M(52,-3) ，又BC 边上的中线过点A(-3,2) ，所以y-2-3-2=x-(-3)52-(-3) ，即10x+11y+8=0 ，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x+11y+8=0 .
