1、第八节函数与方程最新考纲结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数考向预测考情分析：本节的常考点有判断函数零点所在区间、确定函数零点个数及利用函数零点解决一些参数问题，其中利用零点解决一些参数问题仍是高考考查的热点，题型多以选择题为主，属中档题学科素养：通过函数零点的判断与求解考查直观想象、逻辑推理的核心素养必备知识基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1函数的零点(1)概念：对于一般函数yf(x)，我们把使_的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：2函数零点存在定理(1)条件：如果函数yf(x)
2、在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线；_0.(2)结论：函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得_，这个c也就是方程f(x)0的解二、必明3个常用结论1若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)0的实根2由函数yf(x)(图象是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示，所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件3周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”
3、)(1)函数f(x)x21的零点是(1，0)和(1，0)()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)若连续不断的函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()(二)教材改编2必修1P92习题A组T5改编函数f(x)ln x2x的零点所在的大致区间是()A(1，2) B(2，3)C1e，1和(3，4) D(4，)3必修1P88例1改编函数f(x)x12(12)x的零点个数为_(三)易错易混4(忽视二次项系数为0的情况)若
4、函数f(x)2ax2x1在(0，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是()A(1，1) B1，)C(1，) D(2，)5(不会用数形结合讨论二次方程根的分布)若二次函数f(x)x22xm在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是_(四)走进高考62019全国卷函数f(x)2sin xsin 2x在0，2的零点个数为()A2B3 C4D5关键能力考点突破掌握类题通法考点一函数零点所在区间的判定1函数f(x)2x-1ln 1x的零点所在的大致区间是()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(0，1)，(2，3)2若ab0且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*
5、，则n_反思感悟确定函数零点(或方程的根)所在区间的3种方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0的零点个数为()A3B2C1 D0(2)2022河南郑州质检已知函数f(x)(12)xcos x，则f(x)在0，2上的零点个数为()A1 B2C3 D4听课笔记：反思感悟函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得
6、零点个数.【对点训练】12022重庆调研设函数f(x)2|x|x23，则函数yf(x)的零点个数是()A4 B3C2 D12函数f(x)2sin x sin x+2x2的零点个数为_考点三函数零点的应用综合性角度1根据函数零点个数求参数例2(1)设实数a，b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根，且ab1.若关于x的方程f(x)14xa(aR)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A54，94 B54，94C54，941 D.54，941角度2根据零点的范围求参数例3(1)2022武汉质检若函数f(x)x2ax1在区间12，3上有零点，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，)C2
7、，52 D2，103(2)2022衡水检测已知定义在R上的函数yf(x)满足f(x1)f(x1)f(1x)，当x1，2时，f(x)log2x，若方程f(x)ax0在(0，)上恰好有两个不等的实数根，则正实数a的值为()Aelog2e B1eln 2C12 D2角度3求函数多个零点(方程根)的和例42021广东七校联考设函数f(x)的定义域为R，f(x)f(x)且f(x)f(2x)，当x0，1时，f(x)x3，则函数g(x)|cos (x)|f(x)在区间-12，32上的所有零点的和为()A1 B2C3 D4反思感悟已知函数有零点(方程有根)求参数值(范围)的3种常用的方法(1)直接法直接根据题
8、设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.【对点训练】12022武汉质量监测已知函数f(x)exxa.若f(x)没有零点，则实数a的取值范围是()A0，e) B(0，1)C(0，e) D0，1)2若函数f(x)(m2)x2mx2m1的两个零点分别在区间(1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是_微专题解嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关
9、问题交汇对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解类型1嵌套函数零点个数的判断例1已知f(x)lgx，x0，2x，x0，则函数y2fx23f(x)1的零点个数是_解析：由2f(x)23f(x)10，得f(x)12或f(x)1，作出函数yf(x)的图象如图所示由图象知y12与yf(x)的图象有2个交点，y1与yf(x)的图象有3个交点因此函数y2f(x)23f(x)1的零点有5个答案：5名师点评求解此类问题的主要步骤(1)换元解套，转化为tg(x)与yf(t)的零点(2)依次解方程，令f(t)0，求t，代入tg(x)求出x的值或判断图象交
10、点个数类型2求嵌套函数零点中的参数例2函数f(x)ln-x-1，xt1)，则t11，t21.当t11时，t1f(x)有一解；当t21时，t2f(x)有两解；当a1，则函数F(x)f(f(x)2f(x)32的零点个数是()A4 B5C6 D7第八节函数与方程积累必备知识一、1(1)f(x)0(2)x轴f(x)02(1)f(a)f(b)(2)f(c)0三、1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：因为f(2)ln 210，且函数f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数，所以f(x)的零点在区间(2，3)内答案：B3解析：作函数y1x12和y2(12)x的图象如图所示，结合函数的单调性及图象知函数f(
11、x)有1个零点答案：14解析：若函数f(x)2ax2x1在区间(0，1)内恰有一个零点，则方程2ax2x10在区间(0，1)内恰有一个根，若a0，则方程2ax2x10可化为：x10方程的解为1，不成立；若a0，则18a0，且c10；故方程有一正一负两个根，故方程2ax2x10在区间(0，1)内恰有一个解可化为(2a0201)(2a1211)1；故实数a的取值范围是(1，)答案：C5解析：由题意mx22x在(0，4)上有解，又x22x(x1)21，yx22x在(0，4)上的值域为(8，1，8m1.答案：(8，16解析：方法一函数f(x)2sin xsin 2x在0，2的零点个数，即2sin xs
12、in 2x0在区间0，2的根个数，即2sin xsin 2x，令h(x)2sin x和g(x)sin 2x，作出两函数在区间0，2的图象如图所示，由图可知，h(x)2sin x和g(x)sin 2x在区间0，2的图象的交点个数为3个故选B.方法二因为f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，x0，2，令f(x)0，得2sin x(1cos x)0，即sin x0或1cos x0，解得x0，2. 所以f(x)2sin xsin 2x在0，2的零点个数为3个提升关键能力考点一1解析：求函数f(x)2x-1ln 1x的零点所在的大致区间，等价于求2x-1ln 1x0的解所在的大致
13、区间，等价于求2x-1ln 1x的解所在的大致区间，等价于求2x-1ln x的解所在的大致区间，等价于求y2x-1与yln x的图象在(0，)上的交点的横坐标所在的大致区间(如图所示)，由图可得，选D.答案：D2解析：ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内答案：A3解析：对于函数ylogax，当x2时，可得y1，在同一坐标系中画出函数ylogax，yxb的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，函数f(x)的零点
14、x0(n，n1)时，n2.答案：2考点二例1解析：(1)方法一由f(x)0得x0，x2+x-2=0或x0，-1+lnx=0，解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点方法二函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点(2) 如图，作出g(x)(12)x与h(x)cos x的图象，可知其在0，2上的交点个数为3，所以函数f(x)在0，2上的零点个数为3，故选C.答案：(1)B(2) C对点训练1解析：易知f(x)是偶函数，当x0时，f(x)2xx23，所以x0时，f(x)在0，)上是增函数，且f(1)0，所以x1是函数yf(x)在0，)上的唯一零点根据奇偶性，知x1是yf(x)
15、在(，0)内的零点，因此yf(x)有两个零点答案：C2解析：f(x)2sin x cos xx2sin 2xx2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1sin 2x与y2x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1sin 2x与y2x2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.答案：2考点三例2解析：(1)由题意知，如图，在(0，10)上，函数y|lg x|的图象和直线yc有两个不同交点，所以ab1，0c1相切时，恰有两个公共点，此时a0.联立y=1x，y=-14x+a，得1x14xa，即14x2ax10，由a241410，得a1(舍去负根)综上，a54，941答案
16、：(1)(0，1)(2)D例3解析：(1)由题意知方程axx21在12，3上有实数解，即ax1x在12，3上有解，设tx1x，x12，3，则t的取值范围是2，103.所以实数a的取值范围是2，103.(2)由f(x1)f(x1)f(1x)，可知f(x)为偶函数，且一条对称轴为直线x1；再由f(x1)f(x1)，可得f(2x)f(x)，求得周期为2.根据x1，2时，f(x)log2x，作出函数f(x)的草图，如图所示：方程f(x)ax0在(0，)上恰好有两个不等的实数根，函数yax与yf(x)的图象在y轴右侧有两个交点设yax与ylog2x的图象相切时，切点坐标为(x0，log2x0)，由y1x
17、ln2，得1x0ln2log2x0x0，解得x0e2.由图象可知，当直线yax过点(2，1)时，方程f(x)ax0在(0，)上恰好有两个不等的实数根，a12.答案：(1)D(2)C例4解析：由f(x)f(x)，知函数f(x)是偶函数，由f(x)f(2x)，可知函数f(x)的图象的对称轴为直线x1.由于函数f(x)与函数y|cos (x)|均为偶函数，所以在-12，12上g(x)的零点之和为0，只需求在12，32上的零点和在同一个直角坐标系中画出函数y|cos (x)|，yf(x)在12，32上的图象如图，在12，32上，(1，1)为两函数图象的交点，另外两个交点关于x1对称，所以在12，32上
18、，g(x)的零点和为3，故所有零点的和为3.答案：C对点训练1解析：由f(x)exxa0，得exax.若a0时，显然yex与yax有零点，因此若f(x)无零点，必然有a0.当yax与yex相切时，设切点P(x0，ex0)，则aex0且ex0ax0，aax0，x01，则切线斜率kex0|x01e.因此，要使曲线yex与yax不相交，则0ae.答案：A2解析：依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足m2，f-1f00，f1f20，即m2，m-2-m+2m+12m+10，m-2+m+2m+14m-2+2m+2m+10，解得14m12.答案：14，12微专题解嵌套函数的零点问题变式训练解析：令f(x)t，则函数F(x)可化为yf(t)2t32，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)2t320的根的问题令yf(t)2t320，则f(t)2t32，分别作出yf(t)和y2t32的图象，如图1，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1t2)，则t10，1t22；由图2，结合图象，当f(x)0时，有一解，即x2；当f(x)t2时，结合图象，有3个解所以yf(f(x)2f(x)32共有4个零点答案：A
