1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课后提升作业 二十四函数的最大(小)值与导数(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016衡水高二检测)函数y=x-sinx,x的最大值是()A.-1B.-1 C. D.+1【解析】选C.因为y=1-cosx,当x时,y0,则函数y在区间上为增函数,所以y的最大值为ymax=-sin=.【补偿训练】函数f(x)=x2-lnx的最小值为()A.B.1C.0D.不存在【解析】选A.f(x)=x-=,且x0.令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0x1.所以
2、f(x)在x=1处取得极小值也是最小值,且f(1)=-ln1=.2.函数f(x)=2+,x(0,5的最小值为()A.2B.3C.D.2+【解析】选B.由f(x)=-=0,得x=1,且x(0,1)时,f(x)0,所以x=1时f(x)最小,最小值为f(1)=3.3.已知函数f(x)=ax-lnx,当x(0,e(e为自然常数),函数f(x)的最小值为3,则a的值为()A.eB.e2C.2eD.2e2【解析】选B.由f(x)=ax-lnx得f(x)=a-,因为x(0,e,所以当a时,f(x)在x(0,e是减函数,最小值为f(e)=ae-10,不满足题意,当a,f(x)在是减函数,是增函数,所以最小值为
3、f=1+lna=3a=e2.【补偿训练】(2015大庆高二检测)若函数y=x3+x2+m在-2,1上的最大值为,则m等于()A.0B.1C.2D.【解题指南】先求出函数y=x3+x2+m在-2,1上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.【解析】选C.y=3x2+3x=3x(x+1).由y=0,得x=0或x=-1.因为f(0)=m,f(-1)=m+.f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+最大.所以m+=.所以m=2.4.已知y=f(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于
4、()A.B.C.D.1【解析】选D.因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当x(0,2)时,f(x)=-a,令f(x)=0得x=,又a,所以02.当0x0,f(x)在上单调递增;当2x时,f(x)m,则实数m的取值范围是()A.mB.m7C.m D.m【解析】选D. f(x)=3x2-x-2=0,解得x=1或-,f(-1)=,f=,f(1)=,f(2)=7.所以m.【规律总结】简化法求最值(1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅仅是求最值,可用下面简化的方法求得.求出导数为零的点.比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值和最小值.(2)若函数在闭区
5、间a,b上连续单调,则最大、最小值在端点处取得.6.(2016大连高二检测)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在-2,2上有最大值3,那么此函数在-2,2上的最小值为()A.37B.-37C.5D.-5【解析】选B.因为f(x)=6x2-12x=6x(x-2),所以f(x)在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,因此,当x=0时,f(x)取得最大值,即f(0)=m=3,然而f(-2)=-37,f(2)=-5,因此f(x)min=f(-2)=-37.7.(2016武汉高二检测)函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间-3,2上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|t
6、,则实数t的最小值是()A.20B.18C.3D.0【解析】选A.因为f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f(x)=0,得x=1,所以-1,1为函数的极值点.又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间-3,2上f(x)max=1,f(x)min=-19.又由题设知在区间-3,2上f(x)max-f(x)mint,从而t20,所以t的最小值是20.8.已知函数f(x),g(x)均为a,b上的可导函数,在a,b上连续且f(x)g(x),则f(x)-g(x)的最大值为()A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g
7、(a)【解析】选A.令u(x)=f(x)-g(x),则u(x)=f(x)-g(x)0,所以u(x)在a,b上为减函数,所以u(x)的最大值为u(a)=f(a)-g(a).二、填空题(每小题5分,共10分)9.函数f(x)=ex(sinx+cosx)在区间上的值域为.【解析】因为x,所以f(x)=excosx0,所以f(0)f(x)f.即f(x).答案:【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是导函数易求错;二是忽略函数的定义域区间.【补偿训练】函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间-4,4上的最大值为10,则其最小值为.【解析】f(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).由f(x)=
8、0得x=3或x=-1.又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20.由f(x)max=k+5=10,得k=5,所以f(x)min=k-76=-71.答案:-7110.(2016沈阳高二检测)已知a+lnx对于x恒成立,则a的最大值为.【解析】设f(x)=+lnx,则f(x)=+=,当x时,f(x)0,故函数f(x)在(1,2上单调递增,所以f(x)min=f(1)=0,所以a0,即a的最大值为0.答案:0【规律总结】“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即可.一般地,可采用分离参数法.f(x)恒成立
9、f(x)max;f(x)恒成立f(x)min.三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2016长沙高二检测)已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x-1,2的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.【解析】f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).(1)当a0时,列表如下:x-1(-1,0)0(0,2)2f(x)+0-f(x)-7a+bb-16a+b由表可知,当x=0时,f(x)取极大值,也就是函数在-1,2上的最大值,所以f(0)=3,即b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3f(-1),所以f(2)=-16a+3=
10、-29,所以a=2.(2)当af(-1),所以f(2)=-16a-29=3,所以a=-2.综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.【警示误区】分类讨论由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.12.(2016黄山高二检测)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间.(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.【解题指南】(1)先求出函数f(x)的导函数f(x),然后令f(x)0,解得的区间即为函数f(x)的单调递减区间.(2)先求出端
11、点的函数值f(-2)与f(2),比较f(2)与f(-2)的大小,然后根据函数f(x)在-1,2上单调递增,在-2,-1上单调递减,得到f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值,建立等式关系求出a,从而求出函数f(x)在区间-2,2上的最小值.【解析】(1)f(x)=-3x2+6x+9.令f(x)0,解得x3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-,-1),(3,+).(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2).因为在(-1,3)上f(x)0,所以f(x)在-1,2上单调递增,又由于f(x)在-2,-
12、1上单调递减,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7.【能力挑战题】已知函数f(x)=x2+lnx(aR).(1)当a=1时,求f(x)在区间1,e上的最大值和最小值.(2)若在区间(1,+)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=x2+lnx,f(x)=x+=;对于x1,e,有f(x)0,所以f(x)在区间1,e上为增函数,所以f(x)max=f(
13、e)=1+,f(x)min=f(1)=.(2)令g(x)=f(x)-2ax=x2-2ax+lnx,在区间(1,+)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,等价于g(x),令g(x)=0,得x1=1,x2=,当x2x1=1,即a0,此时g(x)在区间(x2,+)上是增函数,当x+时,有x2-2ax+,lnx+,g(x)g(x2),+),不合题意;当x2x1=1,即a1时,同理可知,g(x)在区间(1,+)上是增函数,当x+时,有x2-2ax+,lnx+,g(x)(g(1),+),也不合题意.若a,则2a-10,此时在区间(1,+)上恒有g(x)0,从而g(x)在区间(1,+)上是减函数.要使g(x)0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=-a-0a-,即-a.综上所述,a的取值范围是.关闭Word文档返回原板块