1、课时规范练44空间几何中的向量方法1.(2021上海控江中学三模)如图,空间几何体由两部分构成,上部是一个底面半径为1,高为2的圆锥,下部是一个底面半径为1,高为2的圆柱,圆锥和圆柱的轴在同一直线上,圆锥的下底面与圆柱的上底面重合,点P是圆锥的顶点,AB是圆柱下底面圆的一条直径,点O是圆心,AA1,BB1是圆柱的两条母线,C是弧AB的中点.(1)求异面直线PA1与BC所成角的余弦值;(2)求点B1到平面PAC的距离.2.(2021北京人大附中高三月考)如图,已知平面ABC平面BCD,ABC=DBC=120,AB=BC=BD.(1)连接AD,求证:ADBC;(2)求AD与平面BCD所成角的大小;
2、(3)求二面角A-BD-C的余弦值.3.(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BFA1B1.(1)证明:BFDE;(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?4.(2021湖南常德一模)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,D为ABC所在平面内一点,且四边形ABCD是菱形,ACBD=O,四边形ACC1A1为正方形,平面A1DC1平面A1B1C1.(1)求证:B1O平面ABCD;(2)求二面角C-DC1-A1的正弦值
3、.5.(2021湖南长郡中学高三模拟)如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成,点G为弧CD的中点,且C,E,D,G四点共面.(1)证明:平面BFD平面BCG;(2)若平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为155,求直线DF与平面ABF所成角的大小.6.(2021山东日照二模)如图,在三棱锥A-BCD中,BCD=90,BC=CD=1,ACB=ACD=.(1)求证:ACBD.(2)有三个条件:=60;直线AC与平面BCD所成的角为45;二面角A-CD-B的余弦值为33.请你从中选择一个作为条件,求直线BC与平面ACD所成角的正弦值.答案：课时规范练1.解:(1)根据题意可得O
4、P平面ABC,C是弧AB的中点,OCAB,则以O为原点,OC为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,如图.则P(0,0,4),A1(0,-1,2),B(0,1,0),C(1,0,0),PA1=(0,-1,-2),BC=(1,-1,0),cos=PA1BC|PA1|BC|=152=1010,异面直线PA1与BC所成角的余弦值为1010.(2)B1(0,1,2),A(0,-1,0),PB1=(0,1,-2),PA=(0,-1,-4),PC=(1,0,-4),设平面PAC的法向量n=(x,y,z),则nPA=-y-4z=0,nPC=x-4z=0,取z=1,得n=(4,-4,1),点B1到
5、平面PAC的距离为d=|PB1n|n|=633=23311.2.(1)证明作AOBC于点O,连接OD,因为平面ABC平面BCD,所以AO平面BCD.因为ABC=DBC=120,所以ABO=DBO.又AB=BD,OB=OB,所以AOBDOB,所以DOB=90.又OD平面BCD,所以OAOD,所以OA,OC,OD两两垂直.分别以OD,OC,OA为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设AB=BC=BD=1,则OB=12,OA=OD=32.则A0,0,32,B0,12,0,C0,32,0,D32,0,0.所以AD=32,0,-32,BC=(0,1,0).所以ADBC=0.所以ADBC.(2
6、)解:由(1)知AD=32,0,-32,平面BCD的一个法向量为n1=(0,0,1).设AD与平面BCD所成的角为,则sin =|cos|=n1AD|n1|AD|=-3234+341=22.因为090,所以AD与平面BCD所成角=45.(3)解:设平面ABD的一个法向量为n2=(x,y,z),由AD=32,0,-32,AB=0,12,-32,可得n2AD=32x-32z=0,n2AB=12y-32z=0.令x=1,则n2=(1,3,1).所以cos=n1n2|n1|n2|=111+3+1=55.由题知二面角A-BD-C为钝角,故其余弦值为-55.3.证明(1)如图,连接A1E,取BC中点M,连
7、接B1M,EM.E,M分别为AC,BC中点,EMAB.又ABA1B1,A1B1EM,则点A1,B1,M,E四点共面,故DE平面A1B1ME.又在侧面BCC1B1中,FCBMBB1,FBM=MB1B.又MB1B+B1MB=90,FBM+B1MB=90,BFMB1.又BFA1B1,MB1A1B1=B1,MB1,A1B1平面A1B1ME,BF平面A1B1ME,BFDE.(2)BFA1B1,BFAB,AF2=BF2+AB2=CF2+BC2+AB2=9.又AF2=FC2+AC2,AC2=8,则ABBC.如图,以B为原点,BC,BA,BB1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(2,
8、0,0),A(0,2,0),E(1,1,0),F(2,0,1).则EF=(1,-1,1),ED=(-1,t-1,2),设DB1=t,则D(0,t,2),0t2.则平面BB1C1C的法向量为m=(0,1,0),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),EFn=0,EDn=0, 即x-y+z=0,-x+(t-1)y+2z=0,n=(1+t,3,2-t).则cos=3(1+t)2+32+(2-t)2=32t2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=12时二面角的余弦值最大,则B1D=12时二面角正弦值最小.4.(1)证明如图,取A1C1的中点M,连接MD,MB1,MO.由题意可知B1MB
9、D,B1M=BO=OD,所以四边形B1MDO是平行四边形.因为A1B1=B1C1,所以B1MA1C1.因为四边形ACC1A1为正方形,所以OMA1C1.又OMB1M=M,所以A1C1平面B1MDO.又MD平面B1MDO,所以A1C1DM.又平面A1DC1平面A1B1C1,平面A1DC1平面A1B1C1=A1C1,DM平面A1DC1,所以DM平面A1B1C1.又平面ABCD平面A1B1C1,所以DM平面ABCD.因为四边形B1MDO是平行四边形,所以B1ODM,所以B1O平面ABCD.(2)解:以O为坐标原点,OC,OD,OB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则C(1
10、,0,0),D(0,3,0),C1(1,3,1),A1(-1,3,1),所以CD=(-1,3,0),DC1=(1,0,1),A1C1=(2,0,0),OD=(0,3,0).设平面CDC1的法向量为m=(x,y,z),则mCD=0,mDC1=0,即-x+3y=0,x+z=0,令y=1,则x=3,z=-3,所以m=(3,1,-3)为平面CDC1的一个法向量.因为ODA1C1=0,ODDC1=0,所以OD=(0,3,0)为平面A1DC1的一个法向量.设二面角C-DC1-A1的大小为,则|cos |=|cos|=|mOD|m|OD|=373=77,所以sin =1-cos2=427.所以二面角C-DC
11、1-A1的正弦值为427.5.(1)证明如图,连接CE,由题意得ECD=DCG=45,所以ECG=90,CECG,因为BCEF,BC=EF,所以四边形BCEF为平行四边形,BFEC,BFCG,因为BC平面ABF,BF平面ABF,所以BCBF,因为BCCG=C,所以BF平面BCG,因为BF平面BFD,所以平面BFD平面BCG.(2)解:如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,设AF=2,AD=t,则A(0,0,0),B(0,2,0),F(2,0,0),D(0,0,t),G(-1,1,t),AB=(0,2,0),AG=(-1,1,t),FB=(-2,2,0),FD=(-2,0,t),设平面BDF的
12、法向量为n=(x,y,z),则nFB=0,nFD=0,即-2x+2y=0,-2x+tz=0,令z=2,则n=(t,t,2),设平面ABG的一个法向量为m=(x,y,z),则mAB=0,mAG=0,即y=0,-x+y+tz=0,令z=1,则m=(t,0,1),因为平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为155,所以|cos|=|mn|m|n|=t2+22t2+4t2+1=155,解得t=2,即AD=2,因为DA平面ABF,所以DFA即直线DF与平面ABF所成的角,在ADF中,因为DAF=90,AD=AF=2,所以DFA=45,故直线DF与平面ABF所成的角为45.6.(1)证明如图,取BD的
13、中点O,连接OA,OC,则OCBD.因为BC=DC,ACB=ACD=.AC=AC,所以ABCADC,所以AB=AD,所以OABD.又OAOC=O,所以BD平面AOC.又AC平面AOC,所以ACBD.(2)解:在直线AC上取点P,使得POC=90,连接PB,PD,由(1)知BD平面AOC,PO平面AOC,所以BDPO.又OCBD=O,所以PO平面BCD.由(1)知OCBD,所以OC,OD,OP两两互相垂直.以O为原点,OC,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.如图所示.因为BCD=90,BC=CD=1,所以OC=OB=OD=22.又PO平面BCD,所以PB=PC=PD.
14、选,由=60,可知PCD是等边三角形,所以PD=CD=1,OP=22.所以P0,0,22,C22,0,0,D0,22,0,B0,-22,0,所以BC=22,22,0,DC=22,-22,0,DP=0,-22,22.设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则nDC=22x-22y=0,nDP=-22y+22z=0,取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为,则sin =|cos|=|BCn|BC|n|=213=63.因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为63.选,由PO平面BCD,可知PCO
15、为直线AC与平面BCD所成的角,所以PCO=45,所以OP=OC=22.所以P0,0,22,C22,0,0,D0,22,0,B0,-22,0,所以BC=22,22,0,DC=22,-22,0,DP=0,-22,22.设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则nDC=22x-22y=0,nDP=-22y+22z=0,取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为,则sin =|cos|=|BCn|BC|n|=213=63.因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为63.选,作PMCD,垂足为M,连接
16、OM.由PO平面BCD,CD平面BCD,可知POCD.又POPM=P,所以CD平面POM,所以CDOM,所以PMO为二面角A-CD-B的平面角.所以cosPMO=33,所以tanPMO=2.因为OM=22221=12,所以OP=OMtanPMO=22.所以P0,0,22,C22,0,0,D0,22,0,B0,-22,0,所以BC=22,22,0,DC=22,-22,0,DP=0,-22,22.设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则nDC=22x-22y=0,nDP=-22y+22z=0,取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为,则sin =|cos|=|BCn|BC|n|=213=63.因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为63.
